Theorem nalset 3878

Description: No set contains all sets. Theorem 41 of [Suppes] p. 30. (Contributed by NM, 23-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
nalset	|- -. E.xA.y y e. x

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem nalset

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alexnim 1536	. 2 |- (A.xE.y -. y e. x -> -. E.xA.y y e. x)
2		ax-sep 3866	. . 3 |- E.yA.z(z e. y <-> (z e. x /\ -. z e. z))
3		elequ1 1597	. . . . . 6 |- (z = y -> (z e. y <-> y e. y))
4		elequ1 1597	. . . . . . 7 |- (z = y -> (z e. x <-> y e. x))
5		elequ1 1597	. . . . . . . . 9 |- (z = y -> (z e. z <-> y e. z))
6		elequ2 1598	. . . . . . . . 9 |- (z = y -> (y e. z <-> y e. y))
7	5, 6	bitrd 177	. . . . . . . 8 |- (z = y -> (z e. z <-> y e. y))
8	7	notbid 591	. . . . . . 7 |- (z = y -> (-. z e. z <-> -. y e. y))
9	4, 8	anbi12d 442	. . . . . 6 |- (z = y -> ((z e. x /\ -. z e. z) <-> (y e. x /\ -. y e. y)))
10	3, 9	bibi12d 224	. . . . 5 |- (z = y -> ((z e. y <-> (z e. x /\ -. z e. z)) <-> (y e. y <-> (y e. x /\ -. y e. y))))
11	10	spv 1737	. . . 4 |- (A.z(z e. y <-> (z e. x /\ -. z e. z)) -> (y e. y <-> (y e. x /\ -. y e. y)))
12		pclem6 1264	. . . 4 |- ((y e. y <-> (y e. x /\ -. y e. y)) -> -. y e. x)
13	11, 12	syl 14	. . 3 |- (A.z(z e. y <-> (z e. x /\ -. z e. z)) -> -. y e. x)
14	2, 13	eximii 1490	. 2 |- E.y -. y e. x
15	1, 14	mpg 1337	1 |- -. E.xA.y y e. x

Syntax hints:  -. wn 3   /\ wa 97   <-> wb 98  A.wal 1240  E.wex 1378

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-5 1333  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-sep 3866

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347

This theorem is referenced by:  vprc  3879