Theorem bj-nalset 7118

Description: nalset 3861 from bounded separation. (Contributed by BJ, 18-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nalset	⊢ ¬ ∃x∀y y ∈ x

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem bj-nalset

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		alexnim 1521	. 2 ⊢ (∀x∃y ¬ y ∈ x → ¬ ∃x∀y y ∈ x)
2		ax-bdel 7048	. . . . 5 ⊢ BOUNDED z ∈ z
3	2	ax-bdn 7044	. . . 4 ⊢ BOUNDED ¬ z ∈ z
4	3	bdsep2 7112	. . 3 ⊢ ∃y∀z(z ∈ y ↔ (z ∈ x ∧ ¬ z ∈ z))
5		elequ1 1582	. . . . . 6 ⊢ (z = y → (z ∈ y ↔ y ∈ y))
6		elequ1 1582	. . . . . . 7 ⊢ (z = y → (z ∈ x ↔ y ∈ x))
7		elequ1 1582	. . . . . . . . 9 ⊢ (z = y → (z ∈ z ↔ y ∈ z))
8		elequ2 1583	. . . . . . . . 9 ⊢ (z = y → (y ∈ z ↔ y ∈ y))
9	7, 8	bitrd 177	. . . . . . . 8 ⊢ (z = y → (z ∈ z ↔ y ∈ y))
10	9	notbid 579	. . . . . . 7 ⊢ (z = y → (¬ z ∈ z ↔ ¬ y ∈ y))
11	6, 10	anbi12d 445	. . . . . 6 ⊢ (z = y → ((z ∈ x ∧ ¬ z ∈ z) ↔ (y ∈ x ∧ ¬ y ∈ y)))
12	5, 11	bibi12d 224	. . . . 5 ⊢ (z = y → ((z ∈ y ↔ (z ∈ x ∧ ¬ z ∈ z)) ↔ (y ∈ y ↔ (y ∈ x ∧ ¬ y ∈ y))))
13	12	spv 1722	. . . 4 ⊢ (∀z(z ∈ y ↔ (z ∈ x ∧ ¬ z ∈ z)) → (y ∈ y ↔ (y ∈ x ∧ ¬ y ∈ y)))
14		pclem6 1250	. . . 4 ⊢ ((y ∈ y ↔ (y ∈ x ∧ ¬ y ∈ y)) → ¬ y ∈ x)
15	13, 14	syl 14	. . 3 ⊢ (∀z(z ∈ y ↔ (z ∈ x ∧ ¬ z ∈ z)) → ¬ y ∈ x)
16	4, 15	eximii 1475	. 2 ⊢ ∃y ¬ y ∈ x
17	1, 16	mpg 1320	1 ⊢ ¬ ∃x∀y y ∈ x

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∀wal 1226  ∃wex 1362

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-5 1316  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-ext 2004  ax-bdn 7044  ax-bdel 7048  ax-bdsep 7111

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-cleq 2015  df-clel 2018

This theorem is referenced by:  bj-vprc  7119