Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-nalset Structured version   GIF version

Theorem bj-nalset 7118
Description: nalset 3861 from bounded separation. (Contributed by BJ, 18-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-nalset ¬ xy y x
Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem bj-nalset
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alexnim 1521 . 2 (xy ¬ y x → ¬ xy y x)
2 ax-bdel 7048 . . . . 5 BOUNDED z z
32ax-bdn 7044 . . . 4 BOUNDED ¬ z z
43bdsep2 7112 . . 3 yz(z y ↔ (z x ¬ z z))
5 elequ1 1582 . . . . . 6 (z = y → (z yy y))
6 elequ1 1582 . . . . . . 7 (z = y → (z xy x))
7 elequ1 1582 . . . . . . . . 9 (z = y → (z zy z))
8 elequ2 1583 . . . . . . . . 9 (z = y → (y zy y))
97, 8bitrd 177 . . . . . . . 8 (z = y → (z zy y))
109notbid 579 . . . . . . 7 (z = y → (¬ z z ↔ ¬ y y))
116, 10anbi12d 445 . . . . . 6 (z = y → ((z x ¬ z z) ↔ (y x ¬ y y)))
125, 11bibi12d 224 . . . . 5 (z = y → ((z y ↔ (z x ¬ z z)) ↔ (y y ↔ (y x ¬ y y))))
1312spv 1722 . . . 4 (z(z y ↔ (z x ¬ z z)) → (y y ↔ (y x ¬ y y)))
14 pclem6 1250 . . . 4 ((y y ↔ (y x ¬ y y)) → ¬ y x)
1513, 14syl 14 . . 3 (z(z y ↔ (z x ¬ z z)) → ¬ y x)
164, 15eximii 1475 . 2 y ¬ y x
171, 16mpg 1320 1 ¬ xy y x
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3   wa 97  wb 98  wal 1226  wex 1362
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-5 1316  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-ext 2004  ax-bdn 7044  ax-bdel 7048  ax-bdsep 7111
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-cleq 2015  df-clel 2018
This theorem is referenced by:  bj-vprc  7119
  Copyright terms: Public domain W3C validator