ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2reuswapdc Unicode version
Theorem 2reuswapdc 2743
Description: A condition allowing swap of uniqueness and existential quantifiers. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Apr-2017.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reuswapdc |- (DECID E. x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> ( A. x e. A E* y e. B ph -> ( E! x e. A E. y e. B ph -> E! y e. B E. x e. A ph ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, A   x, B
Allowed substitution hints:   ph( x, y)   B( y)
Proof of Theorem 2reuswapdc
StepHypRef Expression
1 df-rmo 2314 . . 3 |- ( E* y e. B ph <-> E* y ( y e. B /\ ph ) )
21ralbii 2330 . 2 |- ( A. x e. A E* y e. B ph <-> A. x e. A E* y ( y e. B /\ ph ) )
3 df-ral 2311 . . . 4 |- ( A. x e. A E* y ( y e. B /\ ph ) <-> A. x ( x e. A -> E* y ( y e. B /\ ph ) ) )
4 moanimv 1975 . . . . 5 |- ( E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> ( x e. A -> E* y ( y e. B /\ ph ) ) )
54albii 1359 . . . 4 |- ( A. x E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) <-> A. x ( x e. A -> E* y ( y e. B /\ ph ) ) )
63, 5bitr4i 176 . . 3 |- ( A. x e. A E* y ( y e. B /\ ph ) <-> A. x E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
7 df-reu 2313 . . . . . 6 |- ( E! x e. A E. y e. B ph <-> E! x ( x e. A /\ E. y e. B ph ) )
8 r19.42v 2467 . . . . . . . . 9 |- ( E. y e. B ( x e. A /\ ph ) <-> ( x e. A /\ E. y e. B ph ) )
9 df-rex 2312 . . . . . . . . 9 |- ( E. y e. B ( x e. A /\ ph ) <-> E. y ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) )
108, 9bitr3i 175 . . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ E. y e. B ph ) <-> E. y ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) )
11 an12 495 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) <-> ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
1211exbii 1496 . . . . . . . 8 |- ( E. y ( y e. B /\ ( x e. A /\ ph ) ) <-> E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
1310, 12bitri 173 . . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ E. y e. B ph ) <-> E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
1413eubii 1909 . . . . . 6 |- ( E! x ( x e. A /\ E. y e. B ph ) <-> E! x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
157, 14bitri 173 . . . . 5 |- ( E! x e. A E. y e. B ph <-> E! x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
16 2euswapdc 1991 . . . . 5 |- (DECID E. x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> ( A. x E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> ( E! x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> E! y E. x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) ) ) )
1715, 16syl7bi 154 . . . 4 |- (DECID E. x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> ( A. x E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> ( E! x e. A E. y e. B ph -> E! y E. x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) ) ) )
18 df-reu 2313 . . . . . 6 |- ( E! y e. B E. x e. A ph <-> E! y ( y e. B /\ E. x e. A ph ) )
19 r19.42v 2467 . . . . . . . 8 |- ( E. x e. A ( y e. B /\ ph ) <-> ( y e. B /\ E. x e. A ph ) )
20 df-rex 2312 . . . . . . . 8 |- ( E. x e. A ( y e. B /\ ph ) <-> E. x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
2119, 20bitr3i 175 . . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ E. x e. A ph ) <-> E. x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
2221eubii 1909 . . . . . 6 |- ( E! y ( y e. B /\ E. x e. A ph ) <-> E! y E. x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
2318, 22bitri 173 . . . . 5 |- ( E! y e. B E. x e. A ph <-> E! y E. x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) )
2423imbi2i 215 . . . 4 |- ( ( E! x e. A E. y e. B ph -> E! y e. B E. x e. A ph ) <-> ( E! x e. A E. y e. B ph -> E! y E. x ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) ) )
2517, 24syl6ibr 151 . . 3 |- (DECID E. x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> ( A. x E* y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> ( E! x e. A E. y e. B ph -> E! y e. B E. x e. A ph ) ) )
266, 25syl5bi 141 . 2 |- (DECID E. x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> ( A. x e. A E* y ( y e. B /\ ph ) -> ( E! x e. A E. y e. B ph -> E! y e. B E. x e. A ph ) ) )
272, 26syl5bi 141 1 |- (DECID E. x E. y ( x e. A /\ ( y e. B /\ ph ) ) -> ( A. x e. A E* y e. B ph -> ( E! x e. A E. y e. B ph -> E! y e. B E. x e. A ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97  DECID wdc 742   A.wal 1241   E.wex 1381   e. wcel 1393   E!weu 1900   E*wmo 1901   A.wral 2306   E.wrex 2307   E!wreu 2308   E*wrmo 2309
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator