Theorem 2reuswapdc 2743

Description: A condition allowing swap of uniqueness and existential quantifiers. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Apr-2017.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2reuswapdc	⊢ (DECID ∃𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem 2reuswapdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rmo 2314	. . 3 ⊢ (∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
2	1	ralbii 2330	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))
3		df-ral 2311	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
4		moanimv 1975	. . . . 5 ⊢ (∃*𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 → ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
5	4	albii 1359	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∃*𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
6	3, 5	bitr4i 176	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ↔ ∀𝑥∃*𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
7		df-reu 2313	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
8		r19.42v 2467	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑))
9		df-rex 2312	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
10	8, 9	bitr3i 175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)))
11		an12 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
12	11	exbii 1496	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑)) ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
13	10, 12	bitri 173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
14	13	eubii 1909	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑) ↔ ∃!𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
15	7, 14	bitri 173	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 ↔ ∃!𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
16		2euswapdc 1991	. . . . 5 ⊢ (DECID ∃𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) → (∀𝑥∃*𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) → (∃!𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) → ∃!𝑦∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))))
17	15, 16	syl7bi 154	. . . 4 ⊢ (DECID ∃𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) → (∀𝑥∃*𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃!𝑦∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))))
18		df-reu 2313	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃!𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
19		r19.42v 2467	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))
20		df-rex 2312	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
21	19, 20	bitr3i 175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
22	21	eubii 1909	. . . . . 6 ⊢ (∃!𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ ∃!𝑦∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
23	18, 22	bitri 173	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃!𝑦∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)))
24	23	imbi2i 215	. . . 4 ⊢ ((∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑) ↔ (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃!𝑦∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑))))
25	17, 24	syl6ibr 151	. . 3 ⊢ (DECID ∃𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) → (∀𝑥∃*𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
26	6, 25	syl5bi 141	. 2 ⊢ (DECID ∃𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑) → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))
27	2, 26	syl5bi 141	1 ⊢ (DECID ∃𝑥∃𝑦(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝜑)) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∃*𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → (∃!𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜑 → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97  DECID wdc 742  ∀wal 1241  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393  ∃!weu 1900  ∃*wmo 1901  ∀wral 2306  ∃wrex 2307  ∃!wreu 2308  ∃*wrmo 2309

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rmo 2314

This theorem is referenced by: (None)