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Theorem reuind 2738
Description: Existential uniqueness via an indirect equality. (Contributed by NM, 16-Oct-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
reuind.1 (x = y → (φψ))
reuind.2 (x = yA = B)
Assertion
Ref Expression
reuind ((xy(((A 𝐶 φ) (B 𝐶 ψ)) → A = B) x(A 𝐶 φ)) → ∃!z 𝐶 x((A 𝐶 φ) → z = A))
Distinct variable groups:   y,z,A   x,z,B   x,y,𝐶,z   φ,y,z   ψ,x,z
Allowed substitution hints:   φ(x)   ψ(y)   A(x)   B(y)

Proof of Theorem reuind
Dummy variable w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reuind.2 . . . . . . . 8 (x = yA = B)
21eleq1d 2103 . . . . . . 7 (x = y → (A 𝐶B 𝐶))
3 reuind.1 . . . . . . 7 (x = y → (φψ))
42, 3anbi12d 442 . . . . . 6 (x = y → ((A 𝐶 φ) ↔ (B 𝐶 ψ)))
54cbvexv 1792 . . . . 5 (x(A 𝐶 φ) ↔ y(B 𝐶 ψ))
6 r19.41v 2460 . . . . . . 7 (z 𝐶 (z = B ψ) ↔ (z 𝐶 z = B ψ))
76exbii 1493 . . . . . 6 (yz 𝐶 (z = B ψ) ↔ y(z 𝐶 z = B ψ))
8 rexcom4 2571 . . . . . 6 (z 𝐶 y(z = B ψ) ↔ yz 𝐶 (z = B ψ))
9 risset 2346 . . . . . . . 8 (B 𝐶z 𝐶 z = B)
109anbi1i 431 . . . . . . 7 ((B 𝐶 ψ) ↔ (z 𝐶 z = B ψ))
1110exbii 1493 . . . . . 6 (y(B 𝐶 ψ) ↔ y(z 𝐶 z = B ψ))
127, 8, 113bitr4ri 202 . . . . 5 (y(B 𝐶 ψ) ↔ z 𝐶 y(z = B ψ))
135, 12bitri 173 . . . 4 (x(A 𝐶 φ) ↔ z 𝐶 y(z = B ψ))
14 eqeq2 2046 . . . . . . . . . 10 (A = B → (z = Az = B))
1514imim2i 12 . . . . . . . . 9 ((((A 𝐶 φ) (B 𝐶 ψ)) → A = B) → (((A 𝐶 φ) (B 𝐶 ψ)) → (z = Az = B)))
16 bi2 121 . . . . . . . . . . 11 ((z = Az = B) → (z = Bz = A))
1716imim2i 12 . . . . . . . . . 10 ((((A 𝐶 φ) (B 𝐶 ψ)) → (z = Az = B)) → (((A 𝐶 φ) (B 𝐶 ψ)) → (z = Bz = A)))
18 an31 498 . . . . . . . . . . . 12 ((((A 𝐶 φ) (B 𝐶 ψ)) z = B) ↔ ((z = B (B 𝐶 ψ)) (A 𝐶 φ)))
1918imbi1i 227 . . . . . . . . . . 11 (((((A 𝐶 φ) (B 𝐶 ψ)) z = B) → z = A) ↔ (((z = B (B 𝐶 ψ)) (A 𝐶 φ)) → z = A))
20 impexp 250 . . . . . . . . . . 11 (((((A 𝐶 φ) (B 𝐶 ψ)) z = B) → z = A) ↔ (((A 𝐶 φ) (B 𝐶 ψ)) → (z = Bz = A)))
21 impexp 250 . . . . . . . . . . 11 ((((z = B (B 𝐶 ψ)) (A 𝐶 φ)) → z = A) ↔ ((z = B (B 𝐶 ψ)) → ((A 𝐶 φ) → z = A)))
2219, 20, 213bitr3i 199 . . . . . . . . . 10 ((((A 𝐶 φ) (B 𝐶 ψ)) → (z = Bz = A)) ↔ ((z = B (B 𝐶 ψ)) → ((A 𝐶 φ) → z = A)))
2317, 22sylib 127 . . . . . . . . 9 ((((A 𝐶 φ) (B 𝐶 ψ)) → (z = Az = B)) → ((z = B (B 𝐶 ψ)) → ((A 𝐶 φ) → z = A)))
2415, 23syl 14 . . . . . . . 8 ((((A 𝐶 φ) (B 𝐶 ψ)) → A = B) → ((z = B (B 𝐶 ψ)) → ((A 𝐶 φ) → z = A)))
25242alimi 1342 . . . . . . 7 (xy(((A 𝐶 φ) (B 𝐶 ψ)) → A = B) → xy((z = B (B 𝐶 ψ)) → ((A 𝐶 φ) → z = A)))
26 19.23v 1760 . . . . . . . . . 10 (y((z = B (B 𝐶 ψ)) → ((A 𝐶 φ) → z = A)) ↔ (y(z = B (B 𝐶 ψ)) → ((A 𝐶 φ) → z = A)))
27 an12 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((z = B (B 𝐶 ψ)) ↔ (B 𝐶 (z = B ψ)))
28 eleq1 2097 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (z = B → (z 𝐶B 𝐶))
2928adantr 261 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((z = B ψ) → (z 𝐶B 𝐶))
3029pm5.32ri 428 . . . . . . . . . . . . . 14 ((z 𝐶 (z = B ψ)) ↔ (B 𝐶 (z = B ψ)))
3127, 30bitr4i 176 . . . . . . . . . . . . 13 ((z = B (B 𝐶 ψ)) ↔ (z 𝐶 (z = B ψ)))
3231exbii 1493 . . . . . . . . . . . 12 (y(z = B (B 𝐶 ψ)) ↔ y(z 𝐶 (z = B ψ)))
33 19.42v 1783 . . . . . . . . . . . 12 (y(z 𝐶 (z = B ψ)) ↔ (z 𝐶 y(z = B ψ)))
3432, 33bitri 173 . . . . . . . . . . 11 (y(z = B (B 𝐶 ψ)) ↔ (z 𝐶 y(z = B ψ)))
3534imbi1i 227 . . . . . . . . . 10 ((y(z = B (B 𝐶 ψ)) → ((A 𝐶 φ) → z = A)) ↔ ((z 𝐶 y(z = B ψ)) → ((A 𝐶 φ) → z = A)))
3626, 35bitri 173 . . . . . . . . 9 (y((z = B (B 𝐶 ψ)) → ((A 𝐶 φ) → z = A)) ↔ ((z 𝐶 y(z = B ψ)) → ((A 𝐶 φ) → z = A)))
3736albii 1356 . . . . . . . 8 (xy((z = B (B 𝐶 ψ)) → ((A 𝐶 φ) → z = A)) ↔ x((z 𝐶 y(z = B ψ)) → ((A 𝐶 φ) → z = A)))
38 19.21v 1750 . . . . . . . 8 (x((z 𝐶 y(z = B ψ)) → ((A 𝐶 φ) → z = A)) ↔ ((z 𝐶 y(z = B ψ)) → x((A 𝐶 φ) → z = A)))
3937, 38bitri 173 . . . . . . 7 (xy((z = B (B 𝐶 ψ)) → ((A 𝐶 φ) → z = A)) ↔ ((z 𝐶 y(z = B ψ)) → x((A 𝐶 φ) → z = A)))
4025, 39sylib 127 . . . . . 6 (xy(((A 𝐶 φ) (B 𝐶 ψ)) → A = B) → ((z 𝐶 y(z = B ψ)) → x((A 𝐶 φ) → z = A)))
4140expd 245 . . . . 5 (xy(((A 𝐶 φ) (B 𝐶 ψ)) → A = B) → (z 𝐶 → (y(z = B ψ) → x((A 𝐶 φ) → z = A))))
4241reximdvai 2413 . . . 4 (xy(((A 𝐶 φ) (B 𝐶 ψ)) → A = B) → (z 𝐶 y(z = B ψ) → z 𝐶 x((A 𝐶 φ) → z = A)))
4313, 42syl5bi 141 . . 3 (xy(((A 𝐶 φ) (B 𝐶 ψ)) → A = B) → (x(A 𝐶 φ) → z 𝐶 x((A 𝐶 φ) → z = A)))
4443imp 115 . 2 ((xy(((A 𝐶 φ) (B 𝐶 ψ)) → A = B) x(A 𝐶 φ)) → z 𝐶 x((A 𝐶 φ) → z = A))
45 pm4.24 375 . . . . . . . . 9 ((A 𝐶 φ) ↔ ((A 𝐶 φ) (A 𝐶 φ)))
4645biimpi 113 . . . . . . . 8 ((A 𝐶 φ) → ((A 𝐶 φ) (A 𝐶 φ)))
47 prth 326 . . . . . . . 8 ((((A 𝐶 φ) → z = A) ((A 𝐶 φ) → w = A)) → (((A 𝐶 φ) (A 𝐶 φ)) → (z = A w = A)))
48 eqtr3 2056 . . . . . . . 8 ((z = A w = A) → z = w)
4946, 47, 48syl56 30 . . . . . . 7 ((((A 𝐶 φ) → z = A) ((A 𝐶 φ) → w = A)) → ((A 𝐶 φ) → z = w))
5049alanimi 1345 . . . . . 6 ((x((A 𝐶 φ) → z = A) x((A 𝐶 φ) → w = A)) → x((A 𝐶 φ) → z = w))
51 19.23v 1760 . . . . . . . 8 (x((A 𝐶 φ) → z = w) ↔ (x(A 𝐶 φ) → z = w))
5251biimpi 113 . . . . . . 7 (x((A 𝐶 φ) → z = w) → (x(A 𝐶 φ) → z = w))
5352com12 27 . . . . . 6 (x(A 𝐶 φ) → (x((A 𝐶 φ) → z = w) → z = w))
5450, 53syl5 28 . . . . 5 (x(A 𝐶 φ) → ((x((A 𝐶 φ) → z = A) x((A 𝐶 φ) → w = A)) → z = w))
5554a1d 22 . . . 4 (x(A 𝐶 φ) → ((z 𝐶 w 𝐶) → ((x((A 𝐶 φ) → z = A) x((A 𝐶 φ) → w = A)) → z = w)))
5655ralrimivv 2394 . . 3 (x(A 𝐶 φ) → z 𝐶 w 𝐶 ((x((A 𝐶 φ) → z = A) x((A 𝐶 φ) → w = A)) → z = w))
5756adantl 262 . 2 ((xy(((A 𝐶 φ) (B 𝐶 ψ)) → A = B) x(A 𝐶 φ)) → z 𝐶 w 𝐶 ((x((A 𝐶 φ) → z = A) x((A 𝐶 φ) → w = A)) → z = w))
58 eqeq1 2043 . . . . 5 (z = w → (z = Aw = A))
5958imbi2d 219 . . . 4 (z = w → (((A 𝐶 φ) → z = A) ↔ ((A 𝐶 φ) → w = A)))
6059albidv 1702 . . 3 (z = w → (x((A 𝐶 φ) → z = A) ↔ x((A 𝐶 φ) → w = A)))
6160reu4 2729 . 2 (∃!z 𝐶 x((A 𝐶 φ) → z = A) ↔ (z 𝐶 x((A 𝐶 φ) → z = A) z 𝐶 w 𝐶 ((x((A 𝐶 φ) → z = A) x((A 𝐶 φ) → w = A)) → z = w)))
6244, 57, 61sylanbrc 394 1 ((xy(((A 𝐶 φ) (B 𝐶 ψ)) → A = B) x(A 𝐶 φ)) → ∃!z 𝐶 x((A 𝐶 φ) → z = A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1240   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301  ∃!wreu 2302
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-v 2553
This theorem is referenced by: (None)
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