Theorem reuind 2738

Description: Existential uniqueness via an indirect equality. (Contributed by NM, 16-Oct-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
reuind.1	⊢ (x = y → (φ ↔ ψ))
reuind.2	⊢ (x = y → A = B)

Assertion

Ref	Expression
reuind	⊢ ((∀x∀y(((A ∈ 𝐶 ∧ φ) ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) → A = B) ∧ ∃x(A ∈ 𝐶 ∧ φ)) → ∃!z ∈ 𝐶 ∀x((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A))

Distinct variable groups:   y,z,A   x,z,B   x,y,𝐶,z   φ,y,z   ψ,x,z

Allowed substitution hints:   φ(x)   ψ(y)   A(x)   B(y)

Proof of Theorem reuind

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reuind.2	. . . . . . . 8 ⊢ (x = y → A = B)
2	1	eleq1d 2103	. . . . . . 7 ⊢ (x = y → (A ∈ 𝐶 ↔ B ∈ 𝐶))
3		reuind.1	. . . . . . 7 ⊢ (x = y → (φ ↔ ψ))
4	2, 3	anbi12d 442	. . . . . 6 ⊢ (x = y → ((A ∈ 𝐶 ∧ φ) ↔ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)))
5	4	cbvexv 1792	. . . . 5 ⊢ (∃x(A ∈ 𝐶 ∧ φ) ↔ ∃y(B ∈ 𝐶 ∧ ψ))
6		r19.41v 2460	. . . . . . 7 ⊢ (∃z ∈ 𝐶 (z = B ∧ ψ) ↔ (∃z ∈ 𝐶 z = B ∧ ψ))
7	6	exbii 1493	. . . . . 6 ⊢ (∃y∃z ∈ 𝐶 (z = B ∧ ψ) ↔ ∃y(∃z ∈ 𝐶 z = B ∧ ψ))
8		rexcom4 2571	. . . . . 6 ⊢ (∃z ∈ 𝐶 ∃y(z = B ∧ ψ) ↔ ∃y∃z ∈ 𝐶 (z = B ∧ ψ))
9		risset 2346	. . . . . . . 8 ⊢ (B ∈ 𝐶 ↔ ∃z ∈ 𝐶 z = B)
10	9	anbi1i 431	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ 𝐶 ∧ ψ) ↔ (∃z ∈ 𝐶 z = B ∧ ψ))
11	10	exbii 1493	. . . . . 6 ⊢ (∃y(B ∈ 𝐶 ∧ ψ) ↔ ∃y(∃z ∈ 𝐶 z = B ∧ ψ))
12	7, 8, 11	3bitr4ri 202	. . . . 5 ⊢ (∃y(B ∈ 𝐶 ∧ ψ) ↔ ∃z ∈ 𝐶 ∃y(z = B ∧ ψ))
13	5, 12	bitri 173	. . . 4 ⊢ (∃x(A ∈ 𝐶 ∧ φ) ↔ ∃z ∈ 𝐶 ∃y(z = B ∧ ψ))
14		eqeq2 2046	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A = B → (z = A ↔ z = B))
15	14	imim2i 12	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((A ∈ 𝐶 ∧ φ) ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) → A = B) → (((A ∈ 𝐶 ∧ φ) ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) → (z = A ↔ z = B)))
16		bi2 121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((z = A ↔ z = B) → (z = B → z = A))
17	16	imim2i 12	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((A ∈ 𝐶 ∧ φ) ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) → (z = A ↔ z = B)) → (((A ∈ 𝐶 ∧ φ) ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) → (z = B → z = A)))
18		an31 498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((A ∈ 𝐶 ∧ φ) ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) ∧ z = B) ↔ ((z = B ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) ∧ (A ∈ 𝐶 ∧ φ)))
19	18	imbi1i 227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((A ∈ 𝐶 ∧ φ) ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) ∧ z = B) → z = A) ↔ (((z = B ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) ∧ (A ∈ 𝐶 ∧ φ)) → z = A))
20		impexp 250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((A ∈ 𝐶 ∧ φ) ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) ∧ z = B) → z = A) ↔ (((A ∈ 𝐶 ∧ φ) ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) → (z = B → z = A)))
21		impexp 250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((z = B ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) ∧ (A ∈ 𝐶 ∧ φ)) → z = A) ↔ ((z = B ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) → ((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A)))
22	19, 20, 21	3bitr3i 199	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((A ∈ 𝐶 ∧ φ) ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) → (z = B → z = A)) ↔ ((z = B ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) → ((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A)))
23	17, 22	sylib 127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((A ∈ 𝐶 ∧ φ) ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) → (z = A ↔ z = B)) → ((z = B ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) → ((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A)))
24	15, 23	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((((A ∈ 𝐶 ∧ φ) ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) → A = B) → ((z = B ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) → ((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A)))
25	24	2alimi 1342	. . . . . . 7 ⊢ (∀x∀y(((A ∈ 𝐶 ∧ φ) ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) → A = B) → ∀x∀y((z = B ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) → ((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A)))
26		19.23v 1760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀y((z = B ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) → ((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A)) ↔ (∃y(z = B ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) → ((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A)))
27		an12 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((z = B ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) ↔ (B ∈ 𝐶 ∧ (z = B ∧ ψ)))
28		eleq1 2097	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (z = B → (z ∈ 𝐶 ↔ B ∈ 𝐶))
29	28	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((z = B ∧ ψ) → (z ∈ 𝐶 ↔ B ∈ 𝐶))
30	29	pm5.32ri 428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((z ∈ 𝐶 ∧ (z = B ∧ ψ)) ↔ (B ∈ 𝐶 ∧ (z = B ∧ ψ)))
31	27, 30	bitr4i 176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((z = B ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) ↔ (z ∈ 𝐶 ∧ (z = B ∧ ψ)))
32	31	exbii 1493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃y(z = B ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) ↔ ∃y(z ∈ 𝐶 ∧ (z = B ∧ ψ)))
33		19.42v 1783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃y(z ∈ 𝐶 ∧ (z = B ∧ ψ)) ↔ (z ∈ 𝐶 ∧ ∃y(z = B ∧ ψ)))
34	32, 33	bitri 173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃y(z = B ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) ↔ (z ∈ 𝐶 ∧ ∃y(z = B ∧ ψ)))
35	34	imbi1i 227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃y(z = B ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) → ((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A)) ↔ ((z ∈ 𝐶 ∧ ∃y(z = B ∧ ψ)) → ((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A)))
36	26, 35	bitri 173	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀y((z = B ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) → ((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A)) ↔ ((z ∈ 𝐶 ∧ ∃y(z = B ∧ ψ)) → ((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A)))
37	36	albii 1356	. . . . . . . 8 ⊢ (∀x∀y((z = B ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) → ((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A)) ↔ ∀x((z ∈ 𝐶 ∧ ∃y(z = B ∧ ψ)) → ((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A)))
38		19.21v 1750	. . . . . . . 8 ⊢ (∀x((z ∈ 𝐶 ∧ ∃y(z = B ∧ ψ)) → ((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A)) ↔ ((z ∈ 𝐶 ∧ ∃y(z = B ∧ ψ)) → ∀x((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A)))
39	37, 38	bitri 173	. . . . . . 7 ⊢ (∀x∀y((z = B ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) → ((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A)) ↔ ((z ∈ 𝐶 ∧ ∃y(z = B ∧ ψ)) → ∀x((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A)))
40	25, 39	sylib 127	. . . . . 6 ⊢ (∀x∀y(((A ∈ 𝐶 ∧ φ) ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) → A = B) → ((z ∈ 𝐶 ∧ ∃y(z = B ∧ ψ)) → ∀x((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A)))
41	40	expd 245	. . . . 5 ⊢ (∀x∀y(((A ∈ 𝐶 ∧ φ) ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) → A = B) → (z ∈ 𝐶 → (∃y(z = B ∧ ψ) → ∀x((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A))))
42	41	reximdvai 2413	. . . 4 ⊢ (∀x∀y(((A ∈ 𝐶 ∧ φ) ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) → A = B) → (∃z ∈ 𝐶 ∃y(z = B ∧ ψ) → ∃z ∈ 𝐶 ∀x((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A)))
43	13, 42	syl5bi 141	. . 3 ⊢ (∀x∀y(((A ∈ 𝐶 ∧ φ) ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) → A = B) → (∃x(A ∈ 𝐶 ∧ φ) → ∃z ∈ 𝐶 ∀x((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A)))
44	43	imp 115	. 2 ⊢ ((∀x∀y(((A ∈ 𝐶 ∧ φ) ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) → A = B) ∧ ∃x(A ∈ 𝐶 ∧ φ)) → ∃z ∈ 𝐶 ∀x((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A))
45		pm4.24 375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ 𝐶 ∧ φ) ↔ ((A ∈ 𝐶 ∧ φ) ∧ (A ∈ 𝐶 ∧ φ)))
46	45	biimpi 113	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → ((A ∈ 𝐶 ∧ φ) ∧ (A ∈ 𝐶 ∧ φ)))
47		prth 326	. . . . . . . 8 ⊢ ((((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A) ∧ ((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → w = A)) → (((A ∈ 𝐶 ∧ φ) ∧ (A ∈ 𝐶 ∧ φ)) → (z = A ∧ w = A)))
48		eqtr3 2056	. . . . . . . 8 ⊢ ((z = A ∧ w = A) → z = w)
49	46, 47, 48	syl56 30	. . . . . . 7 ⊢ ((((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A) ∧ ((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → w = A)) → ((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = w))
50	49	alanimi 1345	. . . . . 6 ⊢ ((∀x((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A) ∧ ∀x((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → w = A)) → ∀x((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = w))
51		19.23v 1760	. . . . . . . 8 ⊢ (∀x((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = w) ↔ (∃x(A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = w))
52	51	biimpi 113	. . . . . . 7 ⊢ (∀x((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = w) → (∃x(A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = w))
53	52	com12 27	. . . . . 6 ⊢ (∃x(A ∈ 𝐶 ∧ φ) → (∀x((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = w) → z = w))
54	50, 53	syl5 28	. . . . 5 ⊢ (∃x(A ∈ 𝐶 ∧ φ) → ((∀x((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A) ∧ ∀x((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → w = A)) → z = w))
55	54	a1d 22	. . . 4 ⊢ (∃x(A ∈ 𝐶 ∧ φ) → ((z ∈ 𝐶 ∧ w ∈ 𝐶) → ((∀x((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A) ∧ ∀x((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → w = A)) → z = w)))
56	55	ralrimivv 2394	. . 3 ⊢ (∃x(A ∈ 𝐶 ∧ φ) → ∀z ∈ 𝐶 ∀w ∈ 𝐶 ((∀x((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A) ∧ ∀x((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → w = A)) → z = w))
57	56	adantl 262	. 2 ⊢ ((∀x∀y(((A ∈ 𝐶 ∧ φ) ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) → A = B) ∧ ∃x(A ∈ 𝐶 ∧ φ)) → ∀z ∈ 𝐶 ∀w ∈ 𝐶 ((∀x((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A) ∧ ∀x((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → w = A)) → z = w))
58		eqeq1 2043	. . . . 5 ⊢ (z = w → (z = A ↔ w = A))
59	58	imbi2d 219	. . . 4 ⊢ (z = w → (((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A) ↔ ((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → w = A)))
60	59	albidv 1702	. . 3 ⊢ (z = w → (∀x((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A) ↔ ∀x((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → w = A)))
61	60	reu4 2729	. 2 ⊢ (∃!z ∈ 𝐶 ∀x((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A) ↔ (∃z ∈ 𝐶 ∀x((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A) ∧ ∀z ∈ 𝐶 ∀w ∈ 𝐶 ((∀x((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A) ∧ ∀x((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → w = A)) → z = w)))
62	44, 57, 61	sylanbrc 394	1 ⊢ ((∀x∀y(((A ∈ 𝐶 ∧ φ) ∧ (B ∈ 𝐶 ∧ ψ)) → A = B) ∧ ∃x(A ∈ 𝐶 ∧ φ)) → ∃!z ∈ 𝐶 ∀x((A ∈ 𝐶 ∧ φ) → z = A))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∀wal 1240   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300  ∃wrex 2301  ∃!wreu 2302

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-v 2553

This theorem is referenced by: (None)