Theorem 0xp 4420

Description: The cross product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
0xp	|- ( (/) X. A ) = (/)

Proof of Theorem 0xp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 4362	. . 3 |- ( z e. ( (/) X. A ) <-> E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. (/) /\ y e. A ) ) )
2		noel 3228	. . . . . . 7 |- -. x e. (/)
3		simprl 483	. . . . . . 7 |- ( ( z = <. x , y >. /\ ( x e. (/) /\ y e. A ) ) -> x e. (/) )
4	2, 3	mto 588	. . . . . 6 |- -. ( z = <. x , y >. /\ ( x e. (/) /\ y e. A ) )
5	4	nex 1389	. . . . 5 |- -. E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. (/) /\ y e. A ) )
6	5	nex 1389	. . . 4 |- -. E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. (/) /\ y e. A ) )
7		noel 3228	. . . 4 |- -. z e. (/)
8	6, 7	2false 617	. . 3 |- ( E. x E. y ( z = <. x , y >. /\ ( x e. (/) /\ y e. A ) ) <-> z e. (/) )
9	1, 8	bitri 173	. 2 |- ( z e. ( (/) X. A ) <-> z e. (/) )
10	9	eqriv 2037	1 |- ( (/) X. A ) = (/)

Syntax hints:   /\ wa 97   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   (/)c0 3224   <.cop 3378   X. cxp 4343

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-opab 3819  df-xp 4351

This theorem is referenced by:  res0  4616  xp0  4743  xpeq0r  4746  xpdisj1  4747  xpima1  4767