Theorem 0er 6140

Description: The empty set is an equivalence relation on the empty set. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
0er	|- (/) Er (/)

Proof of Theorem 0er

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rel0 4462	. . . 4 |- Rel (/)
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> Rel (/) )
3		df-br 3765	. . . . 5 |- ( x (/) y <-> <. x , y >. e. (/) )
4		noel 3228	. . . . . 6 |- -. <. x , y >. e. (/)
5	4	pm2.21i 575	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. (/) -> y (/) x )
6	3, 5	sylbi 114	. . . 4 |- ( x (/) y -> y (/) x )
7	6	adantl 262	. . 3 |- ( ( T. /\ x (/) y ) -> y (/) x )
8	4	pm2.21i 575	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. (/) -> x (/) z )
9	3, 8	sylbi 114	. . . 4 |- ( x (/) y -> x (/) z )
10	9	ad2antrl 459	. . 3 |- ( ( T. /\ ( x (/) y /\ y (/) z ) ) -> x (/) z )
11		noel 3228	. . . . . 6 |- -. x e. (/)
12		noel 3228	. . . . . 6 |- -. <. x , x >. e. (/)
13	11, 12	2false 617	. . . . 5 |- ( x e. (/) <-> <. x , x >. e. (/) )
14		df-br 3765	. . . . 5 |- ( x (/) x <-> <. x , x >. e. (/) )
15	13, 14	bitr4i 176	. . . 4 |- ( x e. (/) <-> x (/) x )
16	15	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ( x e. (/) <-> x (/) x ) )
17	2, 7, 10, 16	iserd 6132	. 2 |- ( T. -> (/) Er (/) )
18	17	trud 1252	1 |- (/) Er (/)

Syntax hints:   <-> wb 98   T. wtru 1244   e. wcel 1393   (/)c0 3224   <.cop 3378   class class class wbr 3764   Rel wrel 4350   Er wer 6103

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-er 6106

This theorem is referenced by: (None)