ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opabm Structured version   GIF version

Theorem opabm 4008
Description: Inhabited ordered pair class abstraction. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
opabm (z z {⟨x, y⟩ ∣ φ} ↔ xyφ)
Distinct variable groups:   φ,z   x,z   y,z
Allowed substitution hints:   φ(x,y)

Proof of Theorem opabm
StepHypRef Expression
1 elopab 3986 . . 3 (z {⟨x, y⟩ ∣ φ} ↔ xy(z = ⟨x, y φ))
21exbii 1493 . 2 (z z {⟨x, y⟩ ∣ φ} ↔ zxy(z = ⟨x, y φ))
3 exrot3 1577 . 2 (zxy(z = ⟨x, y φ) ↔ xyz(z = ⟨x, y φ))
4 vex 2554 . . . . . 6 x V
5 vex 2554 . . . . . 6 y V
64, 5opex 3957 . . . . 5 x, y V
76isseti 2557 . . . 4 z z = ⟨x, y
8 19.41v 1779 . . . 4 (z(z = ⟨x, y φ) ↔ (z z = ⟨x, y φ))
97, 8mpbiran 846 . . 3 (z(z = ⟨x, y φ) ↔ φ)
1092exbii 1494 . 2 (xyz(z = ⟨x, y φ) ↔ xyφ)
112, 3, 103bitri 195 1 (z z {⟨x, y⟩ ∣ φ} ↔ xyφ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97  wb 98   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  cop 3370  {copab 3808
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-opab 3810
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator