ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opabm Structured version   GIF version

Theorem opabm 3991
Description: Inhabited ordered pair class abstraction. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
opabm (z z {⟨x, y⟩ ∣ φ} ↔ xyφ)
Distinct variable groups:   φ,z   x,z   y,z
Allowed substitution hints:   φ(x,y)

Proof of Theorem opabm
StepHypRef Expression
1 elopab 3969 . . 3 (z {⟨x, y⟩ ∣ φ} ↔ xy(z = ⟨x, y φ))
21exbii 1478 . 2 (z z {⟨x, y⟩ ∣ φ} ↔ zxy(z = ⟨x, y φ))
3 exrot3 1562 . 2 (zxy(z = ⟨x, y φ) ↔ xyz(z = ⟨x, y φ))
4 vex 2538 . . . . . 6 x V
5 vex 2538 . . . . . 6 y V
64, 5opex 3940 . . . . 5 x, y V
76isseti 2541 . . . 4 z z = ⟨x, y
8 19.41v 1764 . . . 4 (z(z = ⟨x, y φ) ↔ (z z = ⟨x, y φ))
97, 8mpbiran 835 . . 3 (z(z = ⟨x, y φ) ↔ φ)
1092exbii 1479 . 2 (xyz(z = ⟨x, y φ) ↔ xyφ)
112, 3, 103bitri 195 1 (z z {⟨x, y⟩ ∣ φ} ↔ xyφ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97  wb 98   = wceq 1228  wex 1362   wcel 1374  cop 3353  {copab 3791
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-v 2537  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-opab 3793
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator