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Theorem euind 2728
 Description: Existential uniqueness via an indirect equality. (Contributed by NM, 11-Oct-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
euind.1 𝐵 ∈ V
euind.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
euind.3 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
euind ((∀𝑥𝑦((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) ∧ ∃𝑥𝜑) → ∃!𝑧𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝜑   𝑥,𝑧,𝜓   𝑦,𝐴,𝑧   𝑥,𝐵,𝑧   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem euind
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 euind.2 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
21cbvexv 1795 . . . . 5 (∃𝑥𝜑 ↔ ∃𝑦𝜓)
3 euind.1 . . . . . . . . 9 𝐵 ∈ V
43isseti 2563 . . . . . . . 8 𝑧 𝑧 = 𝐵
54biantrur 287 . . . . . . 7 (𝜓 ↔ (∃𝑧 𝑧 = 𝐵𝜓))
65exbii 1496 . . . . . 6 (∃𝑦𝜓 ↔ ∃𝑦(∃𝑧 𝑧 = 𝐵𝜓))
7 19.41v 1782 . . . . . . 7 (∃𝑧(𝑧 = 𝐵𝜓) ↔ (∃𝑧 𝑧 = 𝐵𝜓))
87exbii 1496 . . . . . 6 (∃𝑦𝑧(𝑧 = 𝐵𝜓) ↔ ∃𝑦(∃𝑧 𝑧 = 𝐵𝜓))
9 excom 1554 . . . . . 6 (∃𝑦𝑧(𝑧 = 𝐵𝜓) ↔ ∃𝑧𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓))
106, 8, 93bitr2i 197 . . . . 5 (∃𝑦𝜓 ↔ ∃𝑧𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓))
112, 10bitri 173 . . . 4 (∃𝑥𝜑 ↔ ∃𝑧𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓))
12 eqeq2 2049 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (𝑧 = 𝐴𝑧 = 𝐵))
1312imim2i 12 . . . . . . . 8 (((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) → ((𝜑𝜓) → (𝑧 = 𝐴𝑧 = 𝐵)))
14 bi2 121 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 = 𝐴𝑧 = 𝐵) → (𝑧 = 𝐵𝑧 = 𝐴))
1514imim2i 12 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) → (𝑧 = 𝐴𝑧 = 𝐵)) → ((𝜑𝜓) → (𝑧 = 𝐵𝑧 = 𝐴)))
16 an31 498 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑧 = 𝐵) ↔ ((𝑧 = 𝐵𝜓) ∧ 𝜑))
1716imbi1i 227 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐴) ↔ (((𝑧 = 𝐵𝜓) ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴))
18 impexp 250 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐴) ↔ ((𝜑𝜓) → (𝑧 = 𝐵𝑧 = 𝐴)))
19 impexp 250 . . . . . . . . . 10 ((((𝑧 = 𝐵𝜓) ∧ 𝜑) → 𝑧 = 𝐴) ↔ ((𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)))
2017, 18, 193bitr3i 199 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝜓) → (𝑧 = 𝐵𝑧 = 𝐴)) ↔ ((𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)))
2115, 20sylib 127 . . . . . . . 8 (((𝜑𝜓) → (𝑧 = 𝐴𝑧 = 𝐵)) → ((𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)))
2213, 21syl 14 . . . . . . 7 (((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) → ((𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)))
23222alimi 1345 . . . . . 6 (∀𝑥𝑦((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) → ∀𝑥𝑦((𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)))
24 19.23v 1763 . . . . . . . 8 (∀𝑦((𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)) ↔ (∃𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)))
2524albii 1359 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑦((𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)) ↔ ∀𝑥(∃𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)))
26 19.21v 1753 . . . . . . 7 (∀𝑥(∃𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)) ↔ (∃𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓) → ∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴)))
2725, 26bitri 173 . . . . . 6 (∀𝑥𝑦((𝑧 = 𝐵𝜓) → (𝜑𝑧 = 𝐴)) ↔ (∃𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓) → ∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴)))
2823, 27sylib 127 . . . . 5 (∀𝑥𝑦((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) → (∃𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓) → ∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴)))
2928eximdv 1760 . . . 4 (∀𝑥𝑦((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) → (∃𝑧𝑦(𝑧 = 𝐵𝜓) → ∃𝑧𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴)))
3011, 29syl5bi 141 . . 3 (∀𝑥𝑦((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) → (∃𝑥𝜑 → ∃𝑧𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴)))
3130imp 115 . 2 ((∀𝑥𝑦((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) ∧ ∃𝑥𝜑) → ∃𝑧𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴))
32 pm4.24 375 . . . . . . . 8 (𝜑 ↔ (𝜑𝜑))
3332biimpi 113 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝜑𝜑))
34 prth 326 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 = 𝐴) ∧ (𝜑𝑤 = 𝐴)) → ((𝜑𝜑) → (𝑧 = 𝐴𝑤 = 𝐴)))
35 eqtr3 2059 . . . . . . 7 ((𝑧 = 𝐴𝑤 = 𝐴) → 𝑧 = 𝑤)
3633, 34, 35syl56 30 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 = 𝐴) ∧ (𝜑𝑤 = 𝐴)) → (𝜑𝑧 = 𝑤))
3736alanimi 1348 . . . . 5 ((∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥(𝜑𝑤 = 𝐴)) → ∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝑤))
38 19.23v 1763 . . . . . . 7 (∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝑤) ↔ (∃𝑥𝜑𝑧 = 𝑤))
3938biimpi 113 . . . . . 6 (∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝑤) → (∃𝑥𝜑𝑧 = 𝑤))
4039com12 27 . . . . 5 (∃𝑥𝜑 → (∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝑤) → 𝑧 = 𝑤))
4137, 40syl5 28 . . . 4 (∃𝑥𝜑 → ((∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥(𝜑𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤))
4241alrimivv 1755 . . 3 (∃𝑥𝜑 → ∀𝑧𝑤((∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥(𝜑𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤))
4342adantl 262 . 2 ((∀𝑥𝑦((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) ∧ ∃𝑥𝜑) → ∀𝑧𝑤((∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥(𝜑𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤))
44 eqeq1 2046 . . . . 5 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = 𝐴𝑤 = 𝐴))
4544imbi2d 219 . . . 4 (𝑧 = 𝑤 → ((𝜑𝑧 = 𝐴) ↔ (𝜑𝑤 = 𝐴)))
4645albidv 1705 . . 3 (𝑧 = 𝑤 → (∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴) ↔ ∀𝑥(𝜑𝑤 = 𝐴)))
4746eu4 1962 . 2 (∃!𝑧𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴) ↔ (∃𝑧𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑧𝑤((∀𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴) ∧ ∀𝑥(𝜑𝑤 = 𝐴)) → 𝑧 = 𝑤)))
4831, 43, 47sylanbrc 394 1 ((∀𝑥𝑦((𝜑𝜓) → 𝐴 = 𝐵) ∧ ∃𝑥𝜑) → ∃!𝑧𝑥(𝜑𝑧 = 𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∀wal 1241   = wceq 1243  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393  ∃!weu 1900  Vcvv 2557 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-v 2559 This theorem is referenced by: (None)
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