Theorem euind 2722

Description: Existential uniqueness via an indirect equality. (Contributed by NM, 11-Oct-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
euind.1	⊢ B ∈ V
euind.2	⊢ (x = y → (φ ↔ ψ))
euind.3	⊢ (x = y → A = B)

Assertion

Ref	Expression
euind	⊢ ((∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) ∧ ∃xφ) → ∃!z∀x(φ → z = A))

Distinct variable groups:   y,z,φ   x,z,ψ   y,A,z   x,B,z   x,y

Allowed substitution hints:   φ(x)   ψ(y)   A(x)   B(y)

Proof of Theorem euind

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euind.2	. . . . . 6 ⊢ (x = y → (φ ↔ ψ))
2	1	cbvexv 1792	. . . . 5 ⊢ (∃xφ ↔ ∃yψ)
3		euind.1	. . . . . . . . 9 ⊢ B ∈ V
4	3	isseti 2557	. . . . . . . 8 ⊢ ∃z z = B
5	4	biantrur 287	. . . . . . 7 ⊢ (ψ ↔ (∃z z = B ∧ ψ))
6	5	exbii 1493	. . . . . 6 ⊢ (∃yψ ↔ ∃y(∃z z = B ∧ ψ))
7		19.41v 1779	. . . . . . 7 ⊢ (∃z(z = B ∧ ψ) ↔ (∃z z = B ∧ ψ))
8	7	exbii 1493	. . . . . 6 ⊢ (∃y∃z(z = B ∧ ψ) ↔ ∃y(∃z z = B ∧ ψ))
9		excom 1551	. . . . . 6 ⊢ (∃y∃z(z = B ∧ ψ) ↔ ∃z∃y(z = B ∧ ψ))
10	6, 8, 9	3bitr2i 197	. . . . 5 ⊢ (∃yψ ↔ ∃z∃y(z = B ∧ ψ))
11	2, 10	bitri 173	. . . 4 ⊢ (∃xφ ↔ ∃z∃y(z = B ∧ ψ))
12		eqeq2 2046	. . . . . . . . 9 ⊢ (A = B → (z = A ↔ z = B))
13	12	imim2i 12	. . . . . . . 8 ⊢ (((φ ∧ ψ) → A = B) → ((φ ∧ ψ) → (z = A ↔ z = B)))
14		bi2 121	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((z = A ↔ z = B) → (z = B → z = A))
15	14	imim2i 12	. . . . . . . . 9 ⊢ (((φ ∧ ψ) → (z = A ↔ z = B)) → ((φ ∧ ψ) → (z = B → z = A)))
16		an31 498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((φ ∧ ψ) ∧ z = B) ↔ ((z = B ∧ ψ) ∧ φ))
17	16	imbi1i 227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((φ ∧ ψ) ∧ z = B) → z = A) ↔ (((z = B ∧ ψ) ∧ φ) → z = A))
18		impexp 250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((φ ∧ ψ) ∧ z = B) → z = A) ↔ ((φ ∧ ψ) → (z = B → z = A)))
19		impexp 250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((z = B ∧ ψ) ∧ φ) → z = A) ↔ ((z = B ∧ ψ) → (φ → z = A)))
20	17, 18, 19	3bitr3i 199	. . . . . . . . 9 ⊢ (((φ ∧ ψ) → (z = B → z = A)) ↔ ((z = B ∧ ψ) → (φ → z = A)))
21	15, 20	sylib 127	. . . . . . . 8 ⊢ (((φ ∧ ψ) → (z = A ↔ z = B)) → ((z = B ∧ ψ) → (φ → z = A)))
22	13, 21	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((φ ∧ ψ) → A = B) → ((z = B ∧ ψ) → (φ → z = A)))
23	22	2alimi 1342	. . . . . 6 ⊢ (∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) → ∀x∀y((z = B ∧ ψ) → (φ → z = A)))
24		19.23v 1760	. . . . . . . 8 ⊢ (∀y((z = B ∧ ψ) → (φ → z = A)) ↔ (∃y(z = B ∧ ψ) → (φ → z = A)))
25	24	albii 1356	. . . . . . 7 ⊢ (∀x∀y((z = B ∧ ψ) → (φ → z = A)) ↔ ∀x(∃y(z = B ∧ ψ) → (φ → z = A)))
26		19.21v 1750	. . . . . . 7 ⊢ (∀x(∃y(z = B ∧ ψ) → (φ → z = A)) ↔ (∃y(z = B ∧ ψ) → ∀x(φ → z = A)))
27	25, 26	bitri 173	. . . . . 6 ⊢ (∀x∀y((z = B ∧ ψ) → (φ → z = A)) ↔ (∃y(z = B ∧ ψ) → ∀x(φ → z = A)))
28	23, 27	sylib 127	. . . . 5 ⊢ (∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) → (∃y(z = B ∧ ψ) → ∀x(φ → z = A)))
29	28	eximdv 1757	. . . 4 ⊢ (∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) → (∃z∃y(z = B ∧ ψ) → ∃z∀x(φ → z = A)))
30	11, 29	syl5bi 141	. . 3 ⊢ (∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) → (∃xφ → ∃z∀x(φ → z = A)))
31	30	imp 115	. 2 ⊢ ((∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) ∧ ∃xφ) → ∃z∀x(φ → z = A))
32		pm4.24 375	. . . . . . . 8 ⊢ (φ ↔ (φ ∧ φ))
33	32	biimpi 113	. . . . . . 7 ⊢ (φ → (φ ∧ φ))
34		prth 326	. . . . . . 7 ⊢ (((φ → z = A) ∧ (φ → w = A)) → ((φ ∧ φ) → (z = A ∧ w = A)))
35		eqtr3 2056	. . . . . . 7 ⊢ ((z = A ∧ w = A) → z = w)
36	33, 34, 35	syl56 30	. . . . . 6 ⊢ (((φ → z = A) ∧ (φ → w = A)) → (φ → z = w))
37	36	alanimi 1345	. . . . 5 ⊢ ((∀x(φ → z = A) ∧ ∀x(φ → w = A)) → ∀x(φ → z = w))
38		19.23v 1760	. . . . . . 7 ⊢ (∀x(φ → z = w) ↔ (∃xφ → z = w))
39	38	biimpi 113	. . . . . 6 ⊢ (∀x(φ → z = w) → (∃xφ → z = w))
40	39	com12 27	. . . . 5 ⊢ (∃xφ → (∀x(φ → z = w) → z = w))
41	37, 40	syl5 28	. . . 4 ⊢ (∃xφ → ((∀x(φ → z = A) ∧ ∀x(φ → w = A)) → z = w))
42	41	alrimivv 1752	. . 3 ⊢ (∃xφ → ∀z∀w((∀x(φ → z = A) ∧ ∀x(φ → w = A)) → z = w))
43	42	adantl 262	. 2 ⊢ ((∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) ∧ ∃xφ) → ∀z∀w((∀x(φ → z = A) ∧ ∀x(φ → w = A)) → z = w))
44		eqeq1 2043	. . . . 5 ⊢ (z = w → (z = A ↔ w = A))
45	44	imbi2d 219	. . . 4 ⊢ (z = w → ((φ → z = A) ↔ (φ → w = A)))
46	45	albidv 1702	. . 3 ⊢ (z = w → (∀x(φ → z = A) ↔ ∀x(φ → w = A)))
47	46	eu4 1959	. 2 ⊢ (∃!z∀x(φ → z = A) ↔ (∃z∀x(φ → z = A) ∧ ∀z∀w((∀x(φ → z = A) ∧ ∀x(φ → w = A)) → z = w)))
48	31, 43, 47	sylanbrc 394	1 ⊢ ((∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) ∧ ∃xφ) → ∃!z∀x(φ → z = A))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∀wal 1240   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  ∃!weu 1897  Vcvv 2551

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-v 2553

This theorem is referenced by: (None)