Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | euind.2 |
. . . . . 6
⊢ (x = y →
(φ ↔ ψ)) |
2 | 1 | cbvexv 1792 |
. . . . 5
⊢ (∃xφ ↔ ∃yψ) |
3 | | euind.1 |
. . . . . . . . 9
⊢ B ∈
V |
4 | 3 | isseti 2557 |
. . . . . . . 8
⊢ ∃z z = B |
5 | 4 | biantrur 287 |
. . . . . . 7
⊢ (ψ ↔ (∃z z = B ∧ ψ)) |
6 | 5 | exbii 1493 |
. . . . . 6
⊢ (∃yψ ↔ ∃y(∃z z = B ∧ ψ)) |
7 | | 19.41v 1779 |
. . . . . . 7
⊢ (∃z(z = B ∧ ψ) ↔
(∃z
z = B
∧ ψ)) |
8 | 7 | exbii 1493 |
. . . . . 6
⊢ (∃y∃z(z = B ∧ ψ) ↔
∃y(∃z z = B ∧ ψ)) |
9 | | excom 1551 |
. . . . . 6
⊢ (∃y∃z(z = B ∧ ψ) ↔
∃z∃y(z = B ∧ ψ)) |
10 | 6, 8, 9 | 3bitr2i 197 |
. . . . 5
⊢ (∃yψ ↔ ∃z∃y(z = B ∧ ψ)) |
11 | 2, 10 | bitri 173 |
. . . 4
⊢ (∃xφ ↔ ∃z∃y(z = B ∧ ψ)) |
12 | | eqeq2 2046 |
. . . . . . . . 9
⊢ (A = B →
(z = A
↔ z = B)) |
13 | 12 | imim2i 12 |
. . . . . . . 8
⊢ (((φ ∧ ψ) → A = B) →
((φ ∧
ψ) → (z = A ↔
z = B))) |
14 | | bi2 121 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((z = A ↔ z =
B) → (z = B →
z = A)) |
15 | 14 | imim2i 12 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((φ ∧ ψ) → (z = A ↔
z = B))
→ ((φ ∧ ψ) →
(z = B
→ z = A))) |
16 | | an31 498 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((φ ∧ ψ) ∧
z = B)
↔ ((z = B ∧ ψ) ∧ φ)) |
17 | 16 | imbi1i 227 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((φ ∧ ψ) ∧
z = B)
→ z = A) ↔ (((z =
B ∧ ψ) ∧ φ) → z = A)) |
18 | | impexp 250 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((φ ∧ ψ) ∧
z = B)
→ z = A) ↔ ((φ ∧ ψ) → (z = B →
z = A))) |
19 | | impexp 250 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((z = B ∧ ψ) ∧ φ) → z = A) ↔
((z = B
∧ ψ)
→ (φ → z = A))) |
20 | 17, 18, 19 | 3bitr3i 199 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((φ ∧ ψ) → (z = B →
z = A))
↔ ((z = B ∧ ψ) → (φ → z = A))) |
21 | 15, 20 | sylib 127 |
. . . . . . . 8
⊢ (((φ ∧ ψ) → (z = A ↔
z = B))
→ ((z = B ∧ ψ) → (φ → z = A))) |
22 | 13, 21 | syl 14 |
. . . . . . 7
⊢ (((φ ∧ ψ) → A = B) →
((z = B
∧ ψ)
→ (φ → z = A))) |
23 | 22 | 2alimi 1342 |
. . . . . 6
⊢ (∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) →
∀x∀y((z = B ∧ ψ) →
(φ → z = A))) |
24 | | 19.23v 1760 |
. . . . . . . 8
⊢ (∀y((z = B ∧ ψ) →
(φ → z = A)) ↔
(∃y(z = B ∧ ψ) → (φ → z = A))) |
25 | 24 | albii 1356 |
. . . . . . 7
⊢ (∀x∀y((z = B ∧ ψ) →
(φ → z = A)) ↔
∀x(∃y(z = B ∧ ψ) → (φ → z = A))) |
26 | | 19.21v 1750 |
. . . . . . 7
⊢ (∀x(∃y(z = B ∧ ψ) →
(φ → z = A)) ↔
(∃y(z = B ∧ ψ) → ∀x(φ → z = A))) |
27 | 25, 26 | bitri 173 |
. . . . . 6
⊢ (∀x∀y((z = B ∧ ψ) →
(φ → z = A)) ↔
(∃y(z = B ∧ ψ) → ∀x(φ → z = A))) |
28 | 23, 27 | sylib 127 |
. . . . 5
⊢ (∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) →
(∃y(z = B ∧ ψ) → ∀x(φ → z = A))) |
29 | 28 | eximdv 1757 |
. . . 4
⊢ (∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) →
(∃z∃y(z = B ∧ ψ) →
∃z∀x(φ → z = A))) |
30 | 11, 29 | syl5bi 141 |
. . 3
⊢ (∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) →
(∃xφ → ∃z∀x(φ → z = A))) |
31 | 30 | imp 115 |
. 2
⊢ ((∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) ∧ ∃xφ) →
∃z∀x(φ → z = A)) |
32 | | pm4.24 375 |
. . . . . . . 8
⊢ (φ ↔ (φ ∧ φ)) |
33 | 32 | biimpi 113 |
. . . . . . 7
⊢ (φ → (φ ∧ φ)) |
34 | | prth 326 |
. . . . . . 7
⊢ (((φ → z = A) ∧ (φ →
w = A))
→ ((φ ∧ φ) →
(z = A
∧ w =
A))) |
35 | | eqtr3 2056 |
. . . . . . 7
⊢
((z = A ∧ w = A) →
z = w) |
36 | 33, 34, 35 | syl56 30 |
. . . . . 6
⊢ (((φ → z = A) ∧ (φ →
w = A))
→ (φ → z = w)) |
37 | 36 | alanimi 1345 |
. . . . 5
⊢ ((∀x(φ → z = A) ∧ ∀x(φ →
w = A))
→ ∀x(φ →
z = w)) |
38 | | 19.23v 1760 |
. . . . . . 7
⊢ (∀x(φ → z = w) ↔
(∃xφ → z = w)) |
39 | 38 | biimpi 113 |
. . . . . 6
⊢ (∀x(φ → z = w) →
(∃xφ → z = w)) |
40 | 39 | com12 27 |
. . . . 5
⊢ (∃xφ → (∀x(φ → z = w) →
z = w)) |
41 | 37, 40 | syl5 28 |
. . . 4
⊢ (∃xφ → ((∀x(φ → z = A) ∧ ∀x(φ →
w = A))
→ z = w)) |
42 | 41 | alrimivv 1752 |
. . 3
⊢ (∃xφ → ∀z∀w((∀x(φ → z = A) ∧ ∀x(φ →
w = A))
→ z = w)) |
43 | 42 | adantl 262 |
. 2
⊢ ((∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) ∧ ∃xφ) →
∀z∀w((∀x(φ → z = A) ∧ ∀x(φ →
w = A))
→ z = w)) |
44 | | eqeq1 2043 |
. . . . 5
⊢ (z = w →
(z = A
↔ w = A)) |
45 | 44 | imbi2d 219 |
. . . 4
⊢ (z = w →
((φ → z = A) ↔
(φ → w = A))) |
46 | 45 | albidv 1702 |
. . 3
⊢ (z = w →
(∀x(φ →
z = A)
↔ ∀x(φ →
w = A))) |
47 | 46 | eu4 1959 |
. 2
⊢ (∃!z∀x(φ → z = A) ↔
(∃z∀x(φ → z = A) ∧ ∀z∀w((∀x(φ →
z = A)
∧ ∀x(φ → w = A)) →
z = w))) |
48 | 31, 43, 47 | sylanbrc 394 |
1
⊢ ((∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) ∧ ∃xφ) →
∃!z∀x(φ → z = A)) |