ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqoprab2b Structured version   GIF version

Theorem eqoprab2b 5505
Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and biconditional. Compare eqopab2b 4007. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
eqoprab2b ({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ φ} = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ψ} ↔ xyz(φψ))

Proof of Theorem eqoprab2b
StepHypRef Expression
1 ssoprab2b 5504 . . 3 ({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ φ} ⊆ {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ψ} ↔ xyz(φψ))
2 ssoprab2b 5504 . . 3 ({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ψ} ⊆ {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ φ} ↔ xyz(ψφ))
31, 2anbi12i 433 . 2 (({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ φ} ⊆ {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ψ} {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ψ} ⊆ {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ φ}) ↔ (xyz(φψ) xyz(ψφ)))
4 eqss 2954 . 2 ({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ φ} = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ψ} ↔ ({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ φ} ⊆ {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ψ} {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ψ} ⊆ {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ φ}))
5 2albiim 1374 . . . 4 (yz(φψ) ↔ (yz(φψ) yz(ψφ)))
65albii 1356 . . 3 (xyz(φψ) ↔ x(yz(φψ) yz(ψφ)))
7 19.26 1367 . . 3 (x(yz(φψ) yz(ψφ)) ↔ (xyz(φψ) xyz(ψφ)))
86, 7bitri 173 . 2 (xyz(φψ) ↔ (xyz(φψ) xyz(ψφ)))
93, 4, 83bitr4i 201 1 ({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ φ} = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ψ} ↔ xyz(φψ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1240   = wceq 1242  wss 2911  {coprab 5456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-oprab 5459
This theorem is referenced by:  mpt22eqb  5552
  Copyright terms: Public domain W3C validator