ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqoprab2b Structured version   GIF version

Theorem eqoprab2b 5486
Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and biconditional. Compare eqopab2b 3990. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
eqoprab2b ({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ φ} = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ψ} ↔ xyz(φψ))

Proof of Theorem eqoprab2b
StepHypRef Expression
1 ssoprab2b 5485 . . 3 ({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ φ} ⊆ {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ψ} ↔ xyz(φψ))
2 ssoprab2b 5485 . . 3 ({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ψ} ⊆ {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ φ} ↔ xyz(ψφ))
31, 2anbi12i 436 . 2 (({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ φ} ⊆ {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ψ} {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ψ} ⊆ {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ φ}) ↔ (xyz(φψ) xyz(ψφ)))
4 eqss 2937 . 2 ({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ φ} = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ψ} ↔ ({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ φ} ⊆ {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ψ} {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ψ} ⊆ {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ φ}))
5 2albiim 1358 . . . 4 (yz(φψ) ↔ (yz(φψ) yz(ψφ)))
65albii 1339 . . 3 (xyz(φψ) ↔ x(yz(φψ) yz(ψφ)))
7 19.26 1350 . . 3 (x(yz(φψ) yz(ψφ)) ↔ (xyz(φψ) xyz(ψφ)))
86, 7bitri 173 . 2 (xyz(φψ) ↔ (xyz(φψ) xyz(ψφ)))
93, 4, 83bitr4i 201 1 ({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ φ} = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ψ} ↔ xyz(φψ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1226   = wceq 1228  wss 2894  {coprab 5437
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918  ax-setind 4204
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ne 2188  df-ral 2289  df-v 2537  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-oprab 5440
This theorem is referenced by:  mpt22eqb  5533
  Copyright terms: Public domain W3C validator