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Theorem uniuni 4121
Description: Expression for double union that moves union into a class builder. (Contributed by FL, 28-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
uniuni  U. U.  U. {  |  U.  }
Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem uniuni
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluni 3546 . . . . . 6  U.
21anbi2i 430 . . . . 5  U.
32exbii 1469 . . . 4  U.
4 19.42v 1759 . . . . . . 7
54bicomi 123 . . . . . 6
65exbii 1469 . . . . 5
7 excom 1527 . . . . . 6
8 anass 381 . . . . . . . 8
9 ancom 253 . . . . . . . 8
108, 9bitr3i 175 . . . . . . 7
11102exbii 1470 . . . . . 6
12 exdistr 1760 . . . . . 6
137, 11, 123bitri 195 . . . . 5
14 eluni 3546 . . . . . . . 8  U.
1514bicomi 123 . . . . . . 7  U.
1615anbi2i 430 . . . . . 6  U.
1716exbii 1469 . . . . 5  U.
186, 13, 173bitri 195 . . . 4  U.
19 vex 2529 . . . . . . . . . . 11 
_V
2019uniex 4112 . . . . . . . . . 10  U.  _V
21 eleq2 2074 . . . . . . . . . 10  U.  U.
2220, 21ceqsexv 2561 . . . . . . . . 9  U.  U.
23 exancom 1472 . . . . . . . . 9  U.  U.
2422, 23bitr3i 175 . . . . . . . 8  U.  U.
2524anbi2i 430 . . . . . . 7  U.  U.
26 19.42v 1759 . . . . . . 7  U.  U.
27 ancom 253 . . . . . . . . 9  U.  U.
28 anass 381 . . . . . . . . 9  U.  U.
2927, 28bitri 173 . . . . . . . 8  U.  U.
3029exbii 1469 . . . . . . 7  U.  U.
3125, 26, 303bitr2i 197 . . . . . 6  U.  U.
3231exbii 1469 . . . . 5  U.  U.
33 excom 1527 . . . . 5  U.  U.
34 exdistr 1760 . . . . . 6  U.  U.
35 vex 2529 . . . . . . . . . 10 
_V
36 eqeq1 2019 . . . . . . . . . . . 12  U.  U.
3736anbi1d 438 . . . . . . . . . . 11  U.  U.
3837exbidv 1679 . . . . . . . . . 10 
U.  U.
3935, 38elab 2655 . . . . . . . . 9  {  | 
U.  }  U.
4039bicomi 123 . . . . . . . 8  U.  {  |  U.  }
4140anbi2i 430 . . . . . . 7 
U.  {  |  U.  }
4241exbii 1469 . . . . . 6  U.  {  |  U.  }
4334, 42bitri 173 . . . . 5  U.  {  |  U.  }
4432, 33, 433bitri 195 . . . 4  U.  {  |  U.  }
453, 18, 443bitri 195 . . 3  U.  {  |  U.  }
4645abbii 2126 . 2  {  |  U. }  {  |  {  |  U.  } }
47 df-uni 3544 . 2  U. U.  {  |  U. }
48 df-uni 3544 . 2  U. {  |  U.  }  {  |  {  |  U.  } }
4946, 47, 483eqtr4i 2043 1  U. U.  U. {  |  U.  }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wceq 1223  wex 1354   wcel 1366   {cab 1999   U.cuni 3543
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-sep 3838  ax-un 4108
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1226  df-nf 1323  df-sb 1619  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-rex 2281  df-v 2528  df-uni 3544
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