Theorem uniuni 4183

Description: Expression for double union that moves union into a class builder. (Contributed by FL, 28-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniuni	|- U. U. A = U. { x | E. y ( x = U. y /\ y e. A ) }

Distinct variable group:   x, A, y

Proof of Theorem uniuni

Dummy variables v z u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni 3583	. . . . . 6 |- ( u e. U. A <-> E. y ( u e. y /\ y e. A ) )
2	1	anbi2i 430	. . . . 5 |- ( ( z e. u /\ u e. U. A ) <-> ( z e. u /\ E. y ( u e. y /\ y e. A ) ) )
3	2	exbii 1496	. . . 4 |- ( E. u ( z e. u /\ u e. U. A ) <-> E. u ( z e. u /\ E. y ( u e. y /\ y e. A ) ) )
4		19.42v 1786	. . . . . . 7 |- ( E. y ( z e. u /\ ( u e. y /\ y e. A ) ) <-> ( z e. u /\ E. y ( u e. y /\ y e. A ) ) )
5	4	bicomi 123	. . . . . 6 |- ( ( z e. u /\ E. y ( u e. y /\ y e. A ) ) <-> E. y ( z e. u /\ ( u e. y /\ y e. A ) ) )
6	5	exbii 1496	. . . . 5 |- ( E. u ( z e. u /\ E. y ( u e. y /\ y e. A ) ) <-> E. u E. y ( z e. u /\ ( u e. y /\ y e. A ) ) )
7		excom 1554	. . . . . 6 |- ( E. u E. y ( z e. u /\ ( u e. y /\ y e. A ) ) <-> E. y E. u ( z e. u /\ ( u e. y /\ y e. A ) ) )
8		anass 381	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. u /\ u e. y ) /\ y e. A ) <-> ( z e. u /\ ( u e. y /\ y e. A ) ) )
9		ancom 253	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. u /\ u e. y ) /\ y e. A ) <-> ( y e. A /\ ( z e. u /\ u e. y ) ) )
10	8, 9	bitr3i 175	. . . . . . 7 |- ( ( z e. u /\ ( u e. y /\ y e. A ) ) <-> ( y e. A /\ ( z e. u /\ u e. y ) ) )
11	10	2exbii 1497	. . . . . 6 |- ( E. y E. u ( z e. u /\ ( u e. y /\ y e. A ) ) <-> E. y E. u ( y e. A /\ ( z e. u /\ u e. y ) ) )
12		exdistr 1787	. . . . . 6 |- ( E. y E. u ( y e. A /\ ( z e. u /\ u e. y ) ) <-> E. y ( y e. A /\ E. u ( z e. u /\ u e. y ) ) )
13	7, 11, 12	3bitri 195	. . . . 5 |- ( E. u E. y ( z e. u /\ ( u e. y /\ y e. A ) ) <-> E. y ( y e. A /\ E. u ( z e. u /\ u e. y ) ) )
14		eluni 3583	. . . . . . . 8 |- ( z e. U. y <-> E. u ( z e. u /\ u e. y ) )
15	14	bicomi 123	. . . . . . 7 |- ( E. u ( z e. u /\ u e. y ) <-> z e. U. y )
16	15	anbi2i 430	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ E. u ( z e. u /\ u e. y ) ) <-> ( y e. A /\ z e. U. y ) )
17	16	exbii 1496	. . . . 5 |- ( E. y ( y e. A /\ E. u ( z e. u /\ u e. y ) ) <-> E. y ( y e. A /\ z e. U. y ) )
18	6, 13, 17	3bitri 195	. . . 4 |- ( E. u ( z e. u /\ E. y ( u e. y /\ y e. A ) ) <-> E. y ( y e. A /\ z e. U. y ) )
19		vex 2560	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
20	19	uniex 4174	. . . . . . . . . 10 |- U. y e. _V
21		eleq2 2101	. . . . . . . . . 10 |- ( v = U. y -> ( z e. v <-> z e. U. y ) )
22	20, 21	ceqsexv 2593	. . . . . . . . 9 |- ( E. v ( v = U. y /\ z e. v ) <-> z e. U. y )
23		exancom 1499	. . . . . . . . 9 |- ( E. v ( v = U. y /\ z e. v ) <-> E. v ( z e. v /\ v = U. y ) )
24	22, 23	bitr3i 175	. . . . . . . 8 |- ( z e. U. y <-> E. v ( z e. v /\ v = U. y ) )
25	24	anbi2i 430	. . . . . . 7 |- ( ( y e. A /\ z e. U. y ) <-> ( y e. A /\ E. v ( z e. v /\ v = U. y ) ) )
26		19.42v 1786	. . . . . . 7 |- ( E. v ( y e. A /\ ( z e. v /\ v = U. y ) ) <-> ( y e. A /\ E. v ( z e. v /\ v = U. y ) ) )
27		ancom 253	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. A /\ ( z e. v /\ v = U. y ) ) <-> ( ( z e. v /\ v = U. y ) /\ y e. A ) )
28		anass 381	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. v /\ v = U. y ) /\ y e. A ) <-> ( z e. v /\ ( v = U. y /\ y e. A ) ) )
29	27, 28	bitri 173	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. A /\ ( z e. v /\ v = U. y ) ) <-> ( z e. v /\ ( v = U. y /\ y e. A ) ) )
30	29	exbii 1496	. . . . . . 7 |- ( E. v ( y e. A /\ ( z e. v /\ v = U. y ) ) <-> E. v ( z e. v /\ ( v = U. y /\ y e. A ) ) )
31	25, 26, 30	3bitr2i 197	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ z e. U. y ) <-> E. v ( z e. v /\ ( v = U. y /\ y e. A ) ) )
32	31	exbii 1496	. . . . 5 |- ( E. y ( y e. A /\ z e. U. y ) <-> E. y E. v ( z e. v /\ ( v = U. y /\ y e. A ) ) )
33		excom 1554	. . . . 5 |- ( E. y E. v ( z e. v /\ ( v = U. y /\ y e. A ) ) <-> E. v E. y ( z e. v /\ ( v = U. y /\ y e. A ) ) )
34		exdistr 1787	. . . . . 6 |- ( E. v E. y ( z e. v /\ ( v = U. y /\ y e. A ) ) <-> E. v ( z e. v /\ E. y ( v = U. y /\ y e. A ) ) )
35		vex 2560	. . . . . . . . . 10 |- v e. _V
36		eqeq1 2046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = v -> ( x = U. y <-> v = U. y ) )
37	36	anbi1d 438	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = v -> ( ( x = U. y /\ y e. A ) <-> ( v = U. y /\ y e. A ) ) )
38	37	exbidv 1706	. . . . . . . . . 10 |- ( x = v -> ( E. y ( x = U. y /\ y e. A ) <-> E. y ( v = U. y /\ y e. A ) ) )
39	35, 38	elab 2687	. . . . . . . . 9 |- ( v e. { x | E. y ( x = U. y /\ y e. A ) } <-> E. y ( v = U. y /\ y e. A ) )
40	39	bicomi 123	. . . . . . . 8 |- ( E. y ( v = U. y /\ y e. A ) <-> v e. { x | E. y ( x = U. y /\ y e. A ) } )
41	40	anbi2i 430	. . . . . . 7 |- ( ( z e. v /\ E. y ( v = U. y /\ y e. A ) ) <-> ( z e. v /\ v e. { x | E. y ( x = U. y /\ y e. A ) } ) )
42	41	exbii 1496	. . . . . 6 |- ( E. v ( z e. v /\ E. y ( v = U. y /\ y e. A ) ) <-> E. v ( z e. v /\ v e. { x | E. y ( x = U. y /\ y e. A ) } ) )
43	34, 42	bitri 173	. . . . 5 |- ( E. v E. y ( z e. v /\ ( v = U. y /\ y e. A ) ) <-> E. v ( z e. v /\ v e. { x | E. y ( x = U. y /\ y e. A ) } ) )
44	32, 33, 43	3bitri 195	. . . 4 |- ( E. y ( y e. A /\ z e. U. y ) <-> E. v ( z e. v /\ v e. { x | E. y ( x = U. y /\ y e. A ) } ) )
45	3, 18, 44	3bitri 195	. . 3 |- ( E. u ( z e. u /\ u e. U. A ) <-> E. v ( z e. v /\ v e. { x | E. y ( x = U. y /\ y e. A ) } ) )
46	45	abbii 2153	. 2 |- { z | E. u ( z e. u /\ u e. U. A ) } = { z | E. v ( z e. v /\ v e. { x | E. y ( x = U. y /\ y e. A ) } ) }
47		df-uni 3581	. 2 |- U. U. A = { z | E. u ( z e. u /\ u e. U. A ) }
48		df-uni 3581	. 2 |- U. { x | E. y ( x = U. y /\ y e. A ) } = { z | E. v ( z e. v /\ v e. { x | E. y ( x = U. y /\ y e. A ) } ) }
49	46, 47, 48	3eqtr4i 2070	1 |- U. U. A = U. { x | E. y ( x = U. y /\ y e. A ) }

Syntax hints:   /\ wa 97   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   {cab 2026   U.cuni 3580

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-rex 2312  df-v 2559  df-uni 3581

This theorem is referenced by: (None)