Theorem uniuni 4133

Description: Expression for double union that moves union into a class builder. (Contributed by FL, 28-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniuni	⊢ ∪ ∪ A = ∪ {x ∣ ∃y(x = ∪ y ∧ y ∈ A)}

Distinct variable group:   x,A,y

Proof of Theorem uniuni

Dummy variables v z u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni 3557	. . . . . 6 ⊢ (u ∈ ∪ A ↔ ∃y(u ∈ y ∧ y ∈ A))
2	1	anbi2i 433	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ u ∧ u ∈ ∪ A) ↔ (z ∈ u ∧ ∃y(u ∈ y ∧ y ∈ A)))
3	2	exbii 1478	. . . 4 ⊢ (∃u(z ∈ u ∧ u ∈ ∪ A) ↔ ∃u(z ∈ u ∧ ∃y(u ∈ y ∧ y ∈ A)))
4		19.42v 1768	. . . . . . 7 ⊢ (∃y(z ∈ u ∧ (u ∈ y ∧ y ∈ A)) ↔ (z ∈ u ∧ ∃y(u ∈ y ∧ y ∈ A)))
5	4	bicomi 123	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ u ∧ ∃y(u ∈ y ∧ y ∈ A)) ↔ ∃y(z ∈ u ∧ (u ∈ y ∧ y ∈ A)))
6	5	exbii 1478	. . . . 5 ⊢ (∃u(z ∈ u ∧ ∃y(u ∈ y ∧ y ∈ A)) ↔ ∃u∃y(z ∈ u ∧ (u ∈ y ∧ y ∈ A)))
7		excom 1536	. . . . . 6 ⊢ (∃u∃y(z ∈ u ∧ (u ∈ y ∧ y ∈ A)) ↔ ∃y∃u(z ∈ u ∧ (u ∈ y ∧ y ∈ A)))
8		anass 383	. . . . . . . 8 ⊢ (((z ∈ u ∧ u ∈ y) ∧ y ∈ A) ↔ (z ∈ u ∧ (u ∈ y ∧ y ∈ A)))
9		ancom 253	. . . . . . . 8 ⊢ (((z ∈ u ∧ u ∈ y) ∧ y ∈ A) ↔ (y ∈ A ∧ (z ∈ u ∧ u ∈ y)))
10	8, 9	bitr3i 175	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ u ∧ (u ∈ y ∧ y ∈ A)) ↔ (y ∈ A ∧ (z ∈ u ∧ u ∈ y)))
11	10	2exbii 1479	. . . . . 6 ⊢ (∃y∃u(z ∈ u ∧ (u ∈ y ∧ y ∈ A)) ↔ ∃y∃u(y ∈ A ∧ (z ∈ u ∧ u ∈ y)))
12		exdistr 1769	. . . . . 6 ⊢ (∃y∃u(y ∈ A ∧ (z ∈ u ∧ u ∈ y)) ↔ ∃y(y ∈ A ∧ ∃u(z ∈ u ∧ u ∈ y)))
13	7, 11, 12	3bitri 195	. . . . 5 ⊢ (∃u∃y(z ∈ u ∧ (u ∈ y ∧ y ∈ A)) ↔ ∃y(y ∈ A ∧ ∃u(z ∈ u ∧ u ∈ y)))
14		eluni 3557	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ ∪ y ↔ ∃u(z ∈ u ∧ u ∈ y))
15	14	bicomi 123	. . . . . . 7 ⊢ (∃u(z ∈ u ∧ u ∈ y) ↔ z ∈ ∪ y)
16	15	anbi2i 433	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ A ∧ ∃u(z ∈ u ∧ u ∈ y)) ↔ (y ∈ A ∧ z ∈ ∪ y))
17	16	exbii 1478	. . . . 5 ⊢ (∃y(y ∈ A ∧ ∃u(z ∈ u ∧ u ∈ y)) ↔ ∃y(y ∈ A ∧ z ∈ ∪ y))
18	6, 13, 17	3bitri 195	. . . 4 ⊢ (∃u(z ∈ u ∧ ∃y(u ∈ y ∧ y ∈ A)) ↔ ∃y(y ∈ A ∧ z ∈ ∪ y))
19		vex 2538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ y ∈ V
20	19	uniex 4124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ y ∈ V
21		eleq2 2083	. . . . . . . . . 10 ⊢ (v = ∪ y → (z ∈ v ↔ z ∈ ∪ y))
22	20, 21	ceqsexv 2570	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃v(v = ∪ y ∧ z ∈ v) ↔ z ∈ ∪ y)
23		exancom 1481	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃v(v = ∪ y ∧ z ∈ v) ↔ ∃v(z ∈ v ∧ v = ∪ y))
24	22, 23	bitr3i 175	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ ∪ y ↔ ∃v(z ∈ v ∧ v = ∪ y))
25	24	anbi2i 433	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ A ∧ z ∈ ∪ y) ↔ (y ∈ A ∧ ∃v(z ∈ v ∧ v = ∪ y)))
26		19.42v 1768	. . . . . . 7 ⊢ (∃v(y ∈ A ∧ (z ∈ v ∧ v = ∪ y)) ↔ (y ∈ A ∧ ∃v(z ∈ v ∧ v = ∪ y)))
27		ancom 253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ A ∧ (z ∈ v ∧ v = ∪ y)) ↔ ((z ∈ v ∧ v = ∪ y) ∧ y ∈ A))
28		anass 383	. . . . . . . . 9 ⊢ (((z ∈ v ∧ v = ∪ y) ∧ y ∈ A) ↔ (z ∈ v ∧ (v = ∪ y ∧ y ∈ A)))
29	27, 28	bitri 173	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ A ∧ (z ∈ v ∧ v = ∪ y)) ↔ (z ∈ v ∧ (v = ∪ y ∧ y ∈ A)))
30	29	exbii 1478	. . . . . . 7 ⊢ (∃v(y ∈ A ∧ (z ∈ v ∧ v = ∪ y)) ↔ ∃v(z ∈ v ∧ (v = ∪ y ∧ y ∈ A)))
31	25, 26, 30	3bitr2i 197	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ A ∧ z ∈ ∪ y) ↔ ∃v(z ∈ v ∧ (v = ∪ y ∧ y ∈ A)))
32	31	exbii 1478	. . . . 5 ⊢ (∃y(y ∈ A ∧ z ∈ ∪ y) ↔ ∃y∃v(z ∈ v ∧ (v = ∪ y ∧ y ∈ A)))
33		excom 1536	. . . . 5 ⊢ (∃y∃v(z ∈ v ∧ (v = ∪ y ∧ y ∈ A)) ↔ ∃v∃y(z ∈ v ∧ (v = ∪ y ∧ y ∈ A)))
34		exdistr 1769	. . . . . 6 ⊢ (∃v∃y(z ∈ v ∧ (v = ∪ y ∧ y ∈ A)) ↔ ∃v(z ∈ v ∧ ∃y(v = ∪ y ∧ y ∈ A)))
35		vex 2538	. . . . . . . . . 10 ⊢ v ∈ V
36		eqeq1 2028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = v → (x = ∪ y ↔ v = ∪ y))
37	36	anbi1d 441	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = v → ((x = ∪ y ∧ y ∈ A) ↔ (v = ∪ y ∧ y ∈ A)))
38	37	exbidv 1688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = v → (∃y(x = ∪ y ∧ y ∈ A) ↔ ∃y(v = ∪ y ∧ y ∈ A)))
39	35, 38	elab 2664	. . . . . . . . 9 ⊢ (v ∈ {x ∣ ∃y(x = ∪ y ∧ y ∈ A)} ↔ ∃y(v = ∪ y ∧ y ∈ A))
40	39	bicomi 123	. . . . . . . 8 ⊢ (∃y(v = ∪ y ∧ y ∈ A) ↔ v ∈ {x ∣ ∃y(x = ∪ y ∧ y ∈ A)})
41	40	anbi2i 433	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ v ∧ ∃y(v = ∪ y ∧ y ∈ A)) ↔ (z ∈ v ∧ v ∈ {x ∣ ∃y(x = ∪ y ∧ y ∈ A)}))
42	41	exbii 1478	. . . . . 6 ⊢ (∃v(z ∈ v ∧ ∃y(v = ∪ y ∧ y ∈ A)) ↔ ∃v(z ∈ v ∧ v ∈ {x ∣ ∃y(x = ∪ y ∧ y ∈ A)}))
43	34, 42	bitri 173	. . . . 5 ⊢ (∃v∃y(z ∈ v ∧ (v = ∪ y ∧ y ∈ A)) ↔ ∃v(z ∈ v ∧ v ∈ {x ∣ ∃y(x = ∪ y ∧ y ∈ A)}))
44	32, 33, 43	3bitri 195	. . . 4 ⊢ (∃y(y ∈ A ∧ z ∈ ∪ y) ↔ ∃v(z ∈ v ∧ v ∈ {x ∣ ∃y(x = ∪ y ∧ y ∈ A)}))
45	3, 18, 44	3bitri 195	. . 3 ⊢ (∃u(z ∈ u ∧ u ∈ ∪ A) ↔ ∃v(z ∈ v ∧ v ∈ {x ∣ ∃y(x = ∪ y ∧ y ∈ A)}))
46	45	abbii 2135	. 2 ⊢ {z ∣ ∃u(z ∈ u ∧ u ∈ ∪ A)} = {z ∣ ∃v(z ∈ v ∧ v ∈ {x ∣ ∃y(x = ∪ y ∧ y ∈ A)})}
47		df-uni 3555	. 2 ⊢ ∪ ∪ A = {z ∣ ∃u(z ∈ u ∧ u ∈ ∪ A)}
48		df-uni 3555	. 2 ⊢ ∪ {x ∣ ∃y(x = ∪ y ∧ y ∈ A)} = {z ∣ ∃v(z ∈ v ∧ v ∈ {x ∣ ∃y(x = ∪ y ∧ y ∈ A)})}
49	46, 47, 48	3eqtr4i 2052	1 ⊢ ∪ ∪ A = ∪ {x ∣ ∃y(x = ∪ y ∧ y ∈ A)}

Syntax hints:   ∧ wa 97   = wceq 1228  ∃wex 1362   ∈ wcel 1374  {cab 2008  ∪ cuni 3554

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-un 4120

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-rex 2290  df-v 2537  df-uni 3555

This theorem is referenced by: (None)