Theorem uniuni 4149

Description: Expression for double union that moves union into a class builder. (Contributed by FL, 28-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
uniuni	⊢ ∪ ∪ A = ∪ {x ∣ ∃y(x = ∪ y ∧ y ∈ A)}

Distinct variable group:   x,A,y

Proof of Theorem uniuni

Dummy variables v z u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni 3574	. . . . . 6 ⊢ (u ∈ ∪ A ↔ ∃y(u ∈ y ∧ y ∈ A))
2	1	anbi2i 430	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ u ∧ u ∈ ∪ A) ↔ (z ∈ u ∧ ∃y(u ∈ y ∧ y ∈ A)))
3	2	exbii 1493	. . . 4 ⊢ (∃u(z ∈ u ∧ u ∈ ∪ A) ↔ ∃u(z ∈ u ∧ ∃y(u ∈ y ∧ y ∈ A)))
4		19.42v 1783	. . . . . . 7 ⊢ (∃y(z ∈ u ∧ (u ∈ y ∧ y ∈ A)) ↔ (z ∈ u ∧ ∃y(u ∈ y ∧ y ∈ A)))
5	4	bicomi 123	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ u ∧ ∃y(u ∈ y ∧ y ∈ A)) ↔ ∃y(z ∈ u ∧ (u ∈ y ∧ y ∈ A)))
6	5	exbii 1493	. . . . 5 ⊢ (∃u(z ∈ u ∧ ∃y(u ∈ y ∧ y ∈ A)) ↔ ∃u∃y(z ∈ u ∧ (u ∈ y ∧ y ∈ A)))
7		excom 1551	. . . . . 6 ⊢ (∃u∃y(z ∈ u ∧ (u ∈ y ∧ y ∈ A)) ↔ ∃y∃u(z ∈ u ∧ (u ∈ y ∧ y ∈ A)))
8		anass 381	. . . . . . . 8 ⊢ (((z ∈ u ∧ u ∈ y) ∧ y ∈ A) ↔ (z ∈ u ∧ (u ∈ y ∧ y ∈ A)))
9		ancom 253	. . . . . . . 8 ⊢ (((z ∈ u ∧ u ∈ y) ∧ y ∈ A) ↔ (y ∈ A ∧ (z ∈ u ∧ u ∈ y)))
10	8, 9	bitr3i 175	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ u ∧ (u ∈ y ∧ y ∈ A)) ↔ (y ∈ A ∧ (z ∈ u ∧ u ∈ y)))
11	10	2exbii 1494	. . . . . 6 ⊢ (∃y∃u(z ∈ u ∧ (u ∈ y ∧ y ∈ A)) ↔ ∃y∃u(y ∈ A ∧ (z ∈ u ∧ u ∈ y)))
12		exdistr 1784	. . . . . 6 ⊢ (∃y∃u(y ∈ A ∧ (z ∈ u ∧ u ∈ y)) ↔ ∃y(y ∈ A ∧ ∃u(z ∈ u ∧ u ∈ y)))
13	7, 11, 12	3bitri 195	. . . . 5 ⊢ (∃u∃y(z ∈ u ∧ (u ∈ y ∧ y ∈ A)) ↔ ∃y(y ∈ A ∧ ∃u(z ∈ u ∧ u ∈ y)))
14		eluni 3574	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ ∪ y ↔ ∃u(z ∈ u ∧ u ∈ y))
15	14	bicomi 123	. . . . . . 7 ⊢ (∃u(z ∈ u ∧ u ∈ y) ↔ z ∈ ∪ y)
16	15	anbi2i 430	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ A ∧ ∃u(z ∈ u ∧ u ∈ y)) ↔ (y ∈ A ∧ z ∈ ∪ y))
17	16	exbii 1493	. . . . 5 ⊢ (∃y(y ∈ A ∧ ∃u(z ∈ u ∧ u ∈ y)) ↔ ∃y(y ∈ A ∧ z ∈ ∪ y))
18	6, 13, 17	3bitri 195	. . . 4 ⊢ (∃u(z ∈ u ∧ ∃y(u ∈ y ∧ y ∈ A)) ↔ ∃y(y ∈ A ∧ z ∈ ∪ y))
19		vex 2554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ y ∈ V
20	19	uniex 4140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∪ y ∈ V
21		eleq2 2098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (v = ∪ y → (z ∈ v ↔ z ∈ ∪ y))
22	20, 21	ceqsexv 2587	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃v(v = ∪ y ∧ z ∈ v) ↔ z ∈ ∪ y)
23		exancom 1496	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃v(v = ∪ y ∧ z ∈ v) ↔ ∃v(z ∈ v ∧ v = ∪ y))
24	22, 23	bitr3i 175	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ ∪ y ↔ ∃v(z ∈ v ∧ v = ∪ y))
25	24	anbi2i 430	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ A ∧ z ∈ ∪ y) ↔ (y ∈ A ∧ ∃v(z ∈ v ∧ v = ∪ y)))
26		19.42v 1783	. . . . . . 7 ⊢ (∃v(y ∈ A ∧ (z ∈ v ∧ v = ∪ y)) ↔ (y ∈ A ∧ ∃v(z ∈ v ∧ v = ∪ y)))
27		ancom 253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ A ∧ (z ∈ v ∧ v = ∪ y)) ↔ ((z ∈ v ∧ v = ∪ y) ∧ y ∈ A))
28		anass 381	. . . . . . . . 9 ⊢ (((z ∈ v ∧ v = ∪ y) ∧ y ∈ A) ↔ (z ∈ v ∧ (v = ∪ y ∧ y ∈ A)))
29	27, 28	bitri 173	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ A ∧ (z ∈ v ∧ v = ∪ y)) ↔ (z ∈ v ∧ (v = ∪ y ∧ y ∈ A)))
30	29	exbii 1493	. . . . . . 7 ⊢ (∃v(y ∈ A ∧ (z ∈ v ∧ v = ∪ y)) ↔ ∃v(z ∈ v ∧ (v = ∪ y ∧ y ∈ A)))
31	25, 26, 30	3bitr2i 197	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ A ∧ z ∈ ∪ y) ↔ ∃v(z ∈ v ∧ (v = ∪ y ∧ y ∈ A)))
32	31	exbii 1493	. . . . 5 ⊢ (∃y(y ∈ A ∧ z ∈ ∪ y) ↔ ∃y∃v(z ∈ v ∧ (v = ∪ y ∧ y ∈ A)))
33		excom 1551	. . . . 5 ⊢ (∃y∃v(z ∈ v ∧ (v = ∪ y ∧ y ∈ A)) ↔ ∃v∃y(z ∈ v ∧ (v = ∪ y ∧ y ∈ A)))
34		exdistr 1784	. . . . . 6 ⊢ (∃v∃y(z ∈ v ∧ (v = ∪ y ∧ y ∈ A)) ↔ ∃v(z ∈ v ∧ ∃y(v = ∪ y ∧ y ∈ A)))
35		vex 2554	. . . . . . . . . 10 ⊢ v ∈ V
36		eqeq1 2043	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = v → (x = ∪ y ↔ v = ∪ y))
37	36	anbi1d 438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = v → ((x = ∪ y ∧ y ∈ A) ↔ (v = ∪ y ∧ y ∈ A)))
38	37	exbidv 1703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = v → (∃y(x = ∪ y ∧ y ∈ A) ↔ ∃y(v = ∪ y ∧ y ∈ A)))
39	35, 38	elab 2681	. . . . . . . . 9 ⊢ (v ∈ {x ∣ ∃y(x = ∪ y ∧ y ∈ A)} ↔ ∃y(v = ∪ y ∧ y ∈ A))
40	39	bicomi 123	. . . . . . . 8 ⊢ (∃y(v = ∪ y ∧ y ∈ A) ↔ v ∈ {x ∣ ∃y(x = ∪ y ∧ y ∈ A)})
41	40	anbi2i 430	. . . . . . 7 ⊢ ((z ∈ v ∧ ∃y(v = ∪ y ∧ y ∈ A)) ↔ (z ∈ v ∧ v ∈ {x ∣ ∃y(x = ∪ y ∧ y ∈ A)}))
42	41	exbii 1493	. . . . . 6 ⊢ (∃v(z ∈ v ∧ ∃y(v = ∪ y ∧ y ∈ A)) ↔ ∃v(z ∈ v ∧ v ∈ {x ∣ ∃y(x = ∪ y ∧ y ∈ A)}))
43	34, 42	bitri 173	. . . . 5 ⊢ (∃v∃y(z ∈ v ∧ (v = ∪ y ∧ y ∈ A)) ↔ ∃v(z ∈ v ∧ v ∈ {x ∣ ∃y(x = ∪ y ∧ y ∈ A)}))
44	32, 33, 43	3bitri 195	. . . 4 ⊢ (∃y(y ∈ A ∧ z ∈ ∪ y) ↔ ∃v(z ∈ v ∧ v ∈ {x ∣ ∃y(x = ∪ y ∧ y ∈ A)}))
45	3, 18, 44	3bitri 195	. . 3 ⊢ (∃u(z ∈ u ∧ u ∈ ∪ A) ↔ ∃v(z ∈ v ∧ v ∈ {x ∣ ∃y(x = ∪ y ∧ y ∈ A)}))
46	45	abbii 2150	. 2 ⊢ {z ∣ ∃u(z ∈ u ∧ u ∈ ∪ A)} = {z ∣ ∃v(z ∈ v ∧ v ∈ {x ∣ ∃y(x = ∪ y ∧ y ∈ A)})}
47		df-uni 3572	. 2 ⊢ ∪ ∪ A = {z ∣ ∃u(z ∈ u ∧ u ∈ ∪ A)}
48		df-uni 3572	. 2 ⊢ ∪ {x ∣ ∃y(x = ∪ y ∧ y ∈ A)} = {z ∣ ∃v(z ∈ v ∧ v ∈ {x ∣ ∃y(x = ∪ y ∧ y ∈ A)})}
49	46, 47, 48	3eqtr4i 2067	1 ⊢ ∪ ∪ A = ∪ {x ∣ ∃y(x = ∪ y ∧ y ∈ A)}

Syntax hints:   ∧ wa 97   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  {cab 2023  ∪ cuni 3571

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-un 4136

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-rex 2306  df-v 2553  df-uni 3572

This theorem is referenced by: (None)