Theorem uniun 3599

Description: The class union of the union of two classes. Theorem 8.3 of [Quine] p. 53. (Contributed by NM, 20-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
uniun	|- U. ( A u. B ) = ( U. A u. U. B )

Proof of Theorem uniun

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.43 1519	. . . 4 |- ( E. y ( ( x e. y /\ y e. A ) \/ ( x e. y /\ y e. B ) ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) \/ E. y ( x e. y /\ y e. B ) ) )
2		elun 3084	. . . . . . 7 |- ( y e. ( A u. B ) <-> ( y e. A \/ y e. B ) )
3	2	anbi2i 430	. . . . . 6 |- ( ( x e. y /\ y e. ( A u. B ) ) <-> ( x e. y /\ ( y e. A \/ y e. B ) ) )
4		andi 731	. . . . . 6 |- ( ( x e. y /\ ( y e. A \/ y e. B ) ) <-> ( ( x e. y /\ y e. A ) \/ ( x e. y /\ y e. B ) ) )
5	3, 4	bitri 173	. . . . 5 |- ( ( x e. y /\ y e. ( A u. B ) ) <-> ( ( x e. y /\ y e. A ) \/ ( x e. y /\ y e. B ) ) )
6	5	exbii 1496	. . . 4 |- ( E. y ( x e. y /\ y e. ( A u. B ) ) <-> E. y ( ( x e. y /\ y e. A ) \/ ( x e. y /\ y e. B ) ) )
7		eluni 3583	. . . . 5 |- ( x e. U. A <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
8		eluni 3583	. . . . 5 |- ( x e. U. B <-> E. y ( x e. y /\ y e. B ) )
9	7, 8	orbi12i 681	. . . 4 |- ( ( x e. U. A \/ x e. U. B ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) \/ E. y ( x e. y /\ y e. B ) ) )
10	1, 6, 9	3bitr4i 201	. . 3 |- ( E. y ( x e. y /\ y e. ( A u. B ) ) <-> ( x e. U. A \/ x e. U. B ) )
11		eluni 3583	. . 3 |- ( x e. U. ( A u. B ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. ( A u. B ) ) )
12		elun 3084	. . 3 |- ( x e. ( U. A u. U. B ) <-> ( x e. U. A \/ x e. U. B ) )
13	10, 11, 12	3bitr4i 201	. 2 |- ( x e. U. ( A u. B ) <-> x e. ( U. A u. U. B ) )
14	13	eqriv 2037	1 |- U. ( A u. B ) = ( U. A u. U. B )

Syntax hints:   /\ wa 97   \/ wo 629   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   u. cun 2915   U.cuni 3580

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-uni 3581

This theorem is referenced by:  unisuc  4150  unisucg  4151