ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  unisucg Structured version   Unicode version

Theorem unisucg 4117
Description: A transitive class is equal to the union of its successor. Combines Theorem 4E of [Enderton] p. 72 and Exercise 6 of [Enderton] p. 73. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
unisucg  V  Tr  U. suc

Proof of Theorem unisucg
StepHypRef Expression
1 df-suc 4074 . . . . . 6  suc  u.  { }
21unieqi 3581 . . . . 5  U. suc  U.  u.  { }
3 uniun 3590 . . . . 5  U.  u.  { }  U.  u.  U. { }
42, 3eqtri 2057 . . . 4  U. suc  U.  u.  U. { }
5 unisng 3588 . . . . 5  V  U. { }
65uneq2d 3091 . . . 4  V  U.  u.  U. { } 
U.  u.
74, 6syl5eq 2081 . . 3  V  U. suc  U.  u.
87eqeq1d 2045 . 2  V  U. suc  U.  u.
9 df-tr 3846 . . 3  Tr  U.  C_
10 ssequn1 3107 . . 3  U.  C_  U.  u.
119, 10bitri 173 . 2  Tr  U.  u.
128, 11syl6rbbr 188 1  V  Tr  U. suc
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wb 98   wceq 1242   wcel 1390    u. cun 2909    C_ wss 2911   {csn 3367   U.cuni 3571   Tr wtr 3845   suc csuc 4068
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-tr 3846  df-suc 4074
This theorem is referenced by:  nlimsucg  4242
  Copyright terms: Public domain W3C validator