Theorem uniun 3590

Description: The class union of the union of two classes. Theorem 8.3 of [Quine] p. 53. (Contributed by NM, 20-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
uniun	⊢ ∪ (A ∪ B) = (∪ A ∪ ∪ B)

Proof of Theorem uniun

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.43 1516	. . . 4 ⊢ (∃y((x ∈ y ∧ y ∈ A) ∨ (x ∈ y ∧ y ∈ B)) ↔ (∃y(x ∈ y ∧ y ∈ A) ∨ ∃y(x ∈ y ∧ y ∈ B)))
2		elun 3078	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ (A ∪ B) ↔ (y ∈ A ∨ y ∈ B))
3	2	anbi2i 430	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ y ∧ y ∈ (A ∪ B)) ↔ (x ∈ y ∧ (y ∈ A ∨ y ∈ B)))
4		andi 730	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ y ∧ (y ∈ A ∨ y ∈ B)) ↔ ((x ∈ y ∧ y ∈ A) ∨ (x ∈ y ∧ y ∈ B)))
5	3, 4	bitri 173	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ y ∧ y ∈ (A ∪ B)) ↔ ((x ∈ y ∧ y ∈ A) ∨ (x ∈ y ∧ y ∈ B)))
6	5	exbii 1493	. . . 4 ⊢ (∃y(x ∈ y ∧ y ∈ (A ∪ B)) ↔ ∃y((x ∈ y ∧ y ∈ A) ∨ (x ∈ y ∧ y ∈ B)))
7		eluni 3574	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ∪ A ↔ ∃y(x ∈ y ∧ y ∈ A))
8		eluni 3574	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ∪ B ↔ ∃y(x ∈ y ∧ y ∈ B))
9	7, 8	orbi12i 680	. . . 4 ⊢ ((x ∈ ∪ A ∨ x ∈ ∪ B) ↔ (∃y(x ∈ y ∧ y ∈ A) ∨ ∃y(x ∈ y ∧ y ∈ B)))
10	1, 6, 9	3bitr4i 201	. . 3 ⊢ (∃y(x ∈ y ∧ y ∈ (A ∪ B)) ↔ (x ∈ ∪ A ∨ x ∈ ∪ B))
11		eluni 3574	. . 3 ⊢ (x ∈ ∪ (A ∪ B) ↔ ∃y(x ∈ y ∧ y ∈ (A ∪ B)))
12		elun 3078	. . 3 ⊢ (x ∈ (∪ A ∪ ∪ B) ↔ (x ∈ ∪ A ∨ x ∈ ∪ B))
13	10, 11, 12	3bitr4i 201	. 2 ⊢ (x ∈ ∪ (A ∪ B) ↔ x ∈ (∪ A ∪ ∪ B))
14	13	eqriv 2034	1 ⊢ ∪ (A ∪ B) = (∪ A ∪ ∪ B)

Syntax hints:   ∧ wa 97   ∨ wo 628   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390   ∪ cun 2909  ∪ cuni 3571

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-uni 3572

This theorem is referenced by:  unisuc  4116  unisucg  4117