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Theorem uniun 3573
Description: The class union of the union of two classes. Theorem 8.3 of [Quine] p. 53. (Contributed by NM, 20-Aug-1993.)
Assertion
Ref Expression
uniun (AB) = ( A B)

Proof of Theorem uniun
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 19.43 1501 . . . 4 (y((x y y A) (x y y B)) ↔ (y(x y y A) y(x y y B)))
2 elun 3061 . . . . . . 7 (y (AB) ↔ (y A y B))
32anbi2i 433 . . . . . 6 ((x y y (AB)) ↔ (x y (y A y B)))
4 andi 719 . . . . . 6 ((x y (y A y B)) ↔ ((x y y A) (x y y B)))
53, 4bitri 173 . . . . 5 ((x y y (AB)) ↔ ((x y y A) (x y y B)))
65exbii 1478 . . . 4 (y(x y y (AB)) ↔ y((x y y A) (x y y B)))
7 eluni 3557 . . . . 5 (x Ay(x y y A))
8 eluni 3557 . . . . 5 (x By(x y y B))
97, 8orbi12i 668 . . . 4 ((x A x B) ↔ (y(x y y A) y(x y y B)))
101, 6, 93bitr4i 201 . . 3 (y(x y y (AB)) ↔ (x A x B))
11 eluni 3557 . . 3 (x (AB) ↔ y(x y y (AB)))
12 elun 3061 . . 3 (x ( A B) ↔ (x A x B))
1310, 11, 123bitr4i 201 . 2 (x (AB) ↔ x ( A B))
1413eqriv 2019 1 (AB) = ( A B)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wo 616   = wceq 1228  wex 1362   wcel 1374  cun 2892   cuni 3554
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-v 2537  df-un 2899  df-uni 3555
This theorem is referenced by:  unisuc  4099  unisucg  4100
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