Theorem sucelon 4229

Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sucelon	|- ( A e. On <-> suc A e. On )

Proof of Theorem sucelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceloni 4227	. 2 |- ( A e. On -> suc A e. On )
2		eloni 4112	. . 3 |- ( suc A e. On -> Ord suc A )
3		elex 2566	. . . . 5 |- ( suc A e. On -> suc A e. _V )
4		sucexb 4223	. . . . 5 |- ( A e. _V <-> suc A e. _V )
5	3, 4	sylibr 137	. . . 4 |- ( suc A e. On -> A e. _V )
6		elong 4110	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( A e. On <-> Ord A ) )
7		ordsucg 4228	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( Ord A <-> Ord suc A ) )
8	6, 7	bitrd 177	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( A e. On <-> Ord suc A ) )
9	5, 8	syl 14	. . 3 |- ( suc A e. On -> ( A e. On <-> Ord suc A ) )
10	2, 9	mpbird 156	. 2 |- ( suc A e. On -> A e. On )
11	1, 10	impbii 117	1 |- ( A e. On <-> suc A e. On )

Syntax hints:   <-> wb 98   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   Ord word 4099   Oncon0 4100   suc csuc 4102

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581  df-tr 3855  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108

This theorem is referenced by:  onsucmin  4233  onsucuni2  4288