Theorem sucelon 4229

Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. (Contributed by NM, 9-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
sucelon	⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem sucelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suceloni 4227	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
2		eloni 4112	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On → Ord suc 𝐴)
3		elex 2566	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ V)
4		sucexb 4223	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
5	3, 4	sylibr 137	. . . 4 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ V)
6		elong 4110	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴))
7		ordsucg 4228	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴))
8	6, 7	bitrd 177	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ On ↔ Ord suc 𝐴))
9	5, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ On ↔ Ord suc 𝐴))
10	2, 9	mpbird 156	. 2 ⊢ (suc 𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ On)
11	1, 10	impbii 117	1 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ suc 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   ↔ wb 98   ∈ wcel 1393  Vcvv 2557  Ord word 4099  Oncon0 4100  suc csuc 4102

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581  df-tr 3855  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108

This theorem is referenced by:  onsucmin  4233  onsucuni2  4288