ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rabrsndc Unicode version

Theorem rabrsndc 3429
Description: A class abstraction over a decidable proposition restricted to a singleton is either the empty set or the singleton itself. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
rabrsndc.1  _V
rabrsndc.2 DECID
Assertion
Ref Expression
rabrsndc  M  { 
{ }  |  }  M  (/)  M  { }
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()    M()

Proof of Theorem rabrsndc
StepHypRef Expression
1 rabrsndc.1 . . . . . 6  _V
2 rabrsndc.2 . . . . . . . 8 DECID
3 pm2.1dc 744 . . . . . . . 8 DECID
42, 3ax-mp 7 . . . . . . 7
54sbcth 2771 . . . . . 6  _V  [.  ].
61, 5ax-mp 7 . . . . 5  [.  ].
7 sbcor 2801 . . . . 5  [.  ].  [.  ].  [.  ].
86, 7mpbi 133 . . . 4  [.  ].  [.  ].
9 ralsns 3399 . . . . . 6  _V  { }  [.  ].
101, 9ax-mp 7 . . . . 5  { }  [.  ].
11 ralsns 3399 . . . . . 6  _V  { }  [.  ].
121, 11ax-mp 7 . . . . 5  { }  [.  ].
1310, 12orbi12i 680 . . . 4  { }  { }  [.  ].  [.  ].
148, 13mpbir 134 . . 3  { }  { }
15 rabeq0 3241 . . . 4  {  { }  |  }  (/)  { }
16 eqcom 2039 . . . . 5  {  { }  |  }  { }  { }  {  { }  |  }
17 rabid2 2480 . . . . 5  { }  {  { }  |  }  { }
1816, 17bitri 173 . . . 4  {  { }  |  }  { }  { }
1915, 18orbi12i 680 . . 3  {  { }  |  }  (/)  {  { }  |  }  { }  { }  { }
2014, 19mpbir 134 . 2  {  { }  |  }  (/)  {  { }  |  }  { }
21 eqeq1 2043 . . 3  M  { 
{ }  |  }  M  (/)  {  { }  |  }  (/)
22 eqeq1 2043 . . 3  M  { 
{ }  |  }  M  { }  {  { }  |  }  { }
2321, 22orbi12d 706 . 2  M  { 
{ }  |  }  M  (/)  M  { }  { 
{ }  |  }  (/)  {  { }  |  }  { }
2420, 23mpbiri 157 1  M  { 
{ }  |  }  M  (/)  M  { }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 98   wo 628  DECID wdc 741   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300   {crab 2304   _Vcvv 2551   [.wsbc 2758   (/)c0 3218   {csn 3367
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-nul 3219  df-sn 3373
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator