Theorem pwtpss 3577

Description: The power set of an unordered triple. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pwtpss	|- ( ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) u. ( { { C } , { A , C } } u. { { B , C } , { A , B , C } } ) ) C_ ~P { A , B , C }

Proof of Theorem pwtpss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstpr 3528	. . 3 |- ( ( ( ( x = (/) \/ x = { A } ) \/ ( x = { B } \/ x = { A , B } ) ) \/ ( ( x = { C } \/ x = { A , C } ) \/ ( x = { B , C } \/ x = { A , B , C } ) ) ) -> x C_ { A , B , C } )
2		elun 3084	. . . 4 |- ( x e. ( ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) u. ( { { C } , { A , C } } u. { { B , C } , { A , B , C } } ) ) <-> ( x e. ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) \/ x e. ( { { C } , { A , C } } u. { { B , C } , { A , B , C } } ) ) )
3		elun 3084	. . . . . 6 |- ( x e. ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) <-> ( x e. { (/) , { A } } \/ x e. { { B } , { A , B } } ) )
4		vex 2560	. . . . . . . 8 |- x e. _V
5	4	elpr 3396	. . . . . . 7 |- ( x e. { (/) , { A } } <-> ( x = (/) \/ x = { A } ) )
6	4	elpr 3396	. . . . . . 7 |- ( x e. { { B } , { A , B } } <-> ( x = { B } \/ x = { A , B } ) )
7	5, 6	orbi12i 681	. . . . . 6 |- ( ( x e. { (/) , { A } } \/ x e. { { B } , { A , B } } ) <-> ( ( x = (/) \/ x = { A } ) \/ ( x = { B } \/ x = { A , B } ) ) )
8	3, 7	bitri 173	. . . . 5 |- ( x e. ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) <-> ( ( x = (/) \/ x = { A } ) \/ ( x = { B } \/ x = { A , B } ) ) )
9		elun 3084	. . . . . 6 |- ( x e. ( { { C } , { A , C } } u. { { B , C } , { A , B , C } } ) <-> ( x e. { { C } , { A , C } } \/ x e. { { B , C } , { A , B , C } } ) )
10	4	elpr 3396	. . . . . . 7 |- ( x e. { { C } , { A , C } } <-> ( x = { C } \/ x = { A , C } ) )
11	4	elpr 3396	. . . . . . 7 |- ( x e. { { B , C } , { A , B , C } } <-> ( x = { B , C } \/ x = { A , B , C } ) )
12	10, 11	orbi12i 681	. . . . . 6 |- ( ( x e. { { C } , { A , C } } \/ x e. { { B , C } , { A , B , C } } ) <-> ( ( x = { C } \/ x = { A , C } ) \/ ( x = { B , C } \/ x = { A , B , C } ) ) )
13	9, 12	bitri 173	. . . . 5 |- ( x e. ( { { C } , { A , C } } u. { { B , C } , { A , B , C } } ) <-> ( ( x = { C } \/ x = { A , C } ) \/ ( x = { B , C } \/ x = { A , B , C } ) ) )
14	8, 13	orbi12i 681	. . . 4 |- ( ( x e. ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) \/ x e. ( { { C } , { A , C } } u. { { B , C } , { A , B , C } } ) ) <-> ( ( ( x = (/) \/ x = { A } ) \/ ( x = { B } \/ x = { A , B } ) ) \/ ( ( x = { C } \/ x = { A , C } ) \/ ( x = { B , C } \/ x = { A , B , C } ) ) ) )
15	2, 14	bitri 173	. . 3 |- ( x e. ( ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) u. ( { { C } , { A , C } } u. { { B , C } , { A , B , C } } ) ) <-> ( ( ( x = (/) \/ x = { A } ) \/ ( x = { B } \/ x = { A , B } ) ) \/ ( ( x = { C } \/ x = { A , C } ) \/ ( x = { B , C } \/ x = { A , B , C } ) ) ) )
16	4	elpw 3365	. . 3 |- ( x e. ~P { A , B , C } <-> x C_ { A , B , C } )
17	1, 15, 16	3imtr4i 190	. 2 |- ( x e. ( ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) u. ( { { C } , { A , C } } u. { { B , C } , { A , B , C } } ) ) -> x e. ~P { A , B , C } )
18	17	ssriv 2949	1 |- ( ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) u. ( { { C } , { A , C } } u. { { B , C } , { A , B , C } } ) ) C_ ~P { A , B , C }

Syntax hints:   \/ wo 629   = wceq 1243   e. wcel 1393   u. cun 2915   C_ wss 2917   (/)c0 3224   ~Pcpw 3359   {csn 3375   {cpr 3376   {ctp 3377

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-tp 3383

This theorem is referenced by: (None)