Theorem pwtpss 3568

Description: The power set of an unordered triple. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pwtpss	|- (( { (/) , {A } } u. { {B } , {A , B } }) u. ( { { C } , {A , C } } u. { {B , C } , {A , B , C } })) C_ ~P {A , B , C }

Proof of Theorem pwtpss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstpr 3519	. . 3 |- ((((x = (/) \/ x = {A }) \/ (x = {B } \/ x = {A , B })) \/ ((x = { C } \/ x = {A , C }) \/ (x = {B , C } \/ x = {A , B , C }))) -> x C_ {A , B , C })
2		elun 3078	. . . 4 |- (x e. (( { (/) , {A } } u. { {B } , {A , B } }) u. ( { { C } , {A , C } } u. { {B , C } , {A , B , C } })) <-> (x e. ( { (/) , {A } } u. { {B } , {A , B } }) \/ x e. ( { { C } , {A , C } } u. { {B , C } , {A , B , C } })))
3		elun 3078	. . . . . 6 |- (x e. ( { (/) , {A } } u. { {B } , {A , B } }) <-> (x e. { (/) , {A } } \/ x e. { {B } , {A , B } }))
4		vex 2554	. . . . . . . 8 |- x e. _V
5	4	elpr 3385	. . . . . . 7 |- (x e. { (/) , {A } } <-> (x = (/) \/ x = {A }))
6	4	elpr 3385	. . . . . . 7 |- (x e. { {B } , {A , B } } <-> (x = {B } \/ x = {A , B }))
7	5, 6	orbi12i 680	. . . . . 6 |- ((x e. { (/) , {A } } \/ x e. { {B } , {A , B } }) <-> ((x = (/) \/ x = {A }) \/ (x = {B } \/ x = {A , B })))
8	3, 7	bitri 173	. . . . 5 |- (x e. ( { (/) , {A } } u. { {B } , {A , B } }) <-> ((x = (/) \/ x = {A }) \/ (x = {B } \/ x = {A , B })))
9		elun 3078	. . . . . 6 |- (x e. ( { { C } , {A , C } } u. { {B , C } , {A , B , C } }) <-> (x e. { { C } , {A , C } } \/ x e. { {B , C } , {A , B , C } }))
10	4	elpr 3385	. . . . . . 7 |- (x e. { { C } , {A , C } } <-> (x = { C } \/ x = {A , C }))
11	4	elpr 3385	. . . . . . 7 |- (x e. { {B , C } , {A , B , C } } <-> (x = {B , C } \/ x = {A , B , C }))
12	10, 11	orbi12i 680	. . . . . 6 |- ((x e. { { C } , {A , C } } \/ x e. { {B , C } , {A , B , C } }) <-> ((x = { C } \/ x = {A , C }) \/ (x = {B , C } \/ x = {A , B , C })))
13	9, 12	bitri 173	. . . . 5 |- (x e. ( { { C } , {A , C } } u. { {B , C } , {A , B , C } }) <-> ((x = { C } \/ x = {A , C }) \/ (x = {B , C } \/ x = {A , B , C })))
14	8, 13	orbi12i 680	. . . 4 |- ((x e. ( { (/) , {A } } u. { {B } , {A , B } }) \/ x e. ( { { C } , {A , C } } u. { {B , C } , {A , B , C } })) <-> (((x = (/) \/ x = {A }) \/ (x = {B } \/ x = {A , B })) \/ ((x = { C } \/ x = {A , C }) \/ (x = {B , C } \/ x = {A , B , C }))))
15	2, 14	bitri 173	. . 3 |- (x e. (( { (/) , {A } } u. { {B } , {A , B } }) u. ( { { C } , {A , C } } u. { {B , C } , {A , B , C } })) <-> (((x = (/) \/ x = {A }) \/ (x = {B } \/ x = {A , B })) \/ ((x = { C } \/ x = {A , C }) \/ (x = {B , C } \/ x = {A , B , C }))))
16	4	elpw 3357	. . 3 |- (x e. ~P {A , B , C } <-> x C_ {A , B , C })
17	1, 15, 16	3imtr4i 190	. 2 |- (x e. (( { (/) , {A } } u. { {B } , {A , B } }) u. ( { { C } , {A , C } } u. { {B , C } , {A , B , C } })) -> x e. ~P {A , B , C })
18	17	ssriv 2943	1 |- (( { (/) , {A } } u. { {B } , {A , B } }) u. ( { { C } , {A , C } } u. { {B , C } , {A , B , C } })) C_ ~P {A , B , C }

Syntax hints:   \/ wo 628   = wceq 1242   e. wcel 1390   u. cun 2909   C_ wss 2911   (/)c0 3218   ~Pcpw 3351   {csn 3367   {cpr 3368   {ctp 3369

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-tp 3375

This theorem is referenced by: (None)