ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opm Structured version   Unicode version

Theorem opm 3962
Description: An ordered pair is inhabited iff the arguments are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
opm  <. ,  >.  _V  _V
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem opm
StepHypRef Expression
1 df-op 3376 . . . . 5  <. ,  >.  {  |  _V  _V  { { } ,  { ,  } } }
21eleq2i 2101 . . . 4  <. ,  >.  {  |  _V  _V  { { } ,  { ,  } } }
32exbii 1493 . . 3  <. ,  >. 
{  |  _V  _V  { { } ,  { ,  } } }
4 abid 2025 . . . 4  {  |  _V  _V  { { } ,  { ,  } } }  _V  _V  { { } ,  { ,  } }
54exbii 1493 . . 3  {  |  _V  _V  { { } ,  { ,  } } }  _V  _V  { { } ,  { ,  } }
63, 5bitri 173 . 2  <. ,  >.  _V  _V 
{ { } ,  { ,  } }
7 19.42v 1783 . . 3  _V  _V  { { } ,  { ,  } }  _V  _V  { { } ,  { ,  } }
8 df-3an 886 . . . 4  _V  _V  { { } ,  { ,  } }  _V  _V  { { } ,  { ,  } }
98exbii 1493 . . 3  _V  _V  { { } ,  { ,  } }  _V  _V  { { } ,  { ,  } }
10 df-3an 886 . . 3  _V  _V  { { } ,  { ,  } }  _V  _V  { { } ,  { ,  } }
117, 9, 103bitr4ri 202 . 2  _V  _V  { { } ,  { ,  } }  _V  _V 
{ { } ,  { ,  } }
12 3simpa 900 . . 3  _V  _V  { { } ,  { ,  } }  _V  _V
13 id 19 . . . 4  _V  _V  _V  _V
14 snexgOLD 3926 . . . . . 6  _V  { }  _V
1514adantr 261 . . . . 5  _V  _V  { }  _V
16 prmg 3480 . . . . 5  { }  _V 
{ { } ,  { ,  } }
1715, 16syl 14 . . . 4  _V  _V 
{ { } ,  { ,  } }
1813, 17, 10sylanbrc 394 . . 3  _V  _V  _V  _V  { { } ,  { ,  } }
1912, 18impbii 117 . 2  _V  _V  { { } ,  { ,  } }  _V  _V
206, 11, 193bitr2i 197 1  <. ,  >.  _V  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wb 98   w3a 884  wex 1378   wcel 1390   {cab 2023   _Vcvv 2551   {csn 3367   {cpr 3368   <.cop 3370
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376
This theorem is referenced by:  opnzi  3963  opeqex  3977
  Copyright terms: Public domain W3C validator