ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opm Unicode version

Theorem opm 3967
Description: An ordered pair is inhabited iff the arguments are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
opm  |-  ( E. x  x  e.  <. A ,  B >.  <->  ( A  e.  _V  /\  B  e. 
_V ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem opm
StepHypRef Expression
1 df-op 3381 . . . . 5  |-  <. A ,  B >.  =  { x  |  ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) }
21eleq2i 2104 . . . 4  |-  ( x  e.  <. A ,  B >.  <-> 
x  e.  { x  |  ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) } )
32exbii 1496 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  <. A ,  B >.  <->  E. x  x  e.  { x  |  ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) } )
4 abid 2028 . . . 4  |-  ( x  e.  { x  |  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) }  <->  ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
54exbii 1496 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  {
x  |  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  x  e. 
{ { A } ,  { A ,  B } } ) }  <->  E. x
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
63, 5bitri 173 . 2  |-  ( E. x  x  e.  <. A ,  B >.  <->  E. x
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
7 19.42v 1786 . . 3  |-  ( E. x ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } )  <->  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  E. x  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
8 df-3an 887 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } )  <->  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
98exbii 1496 . . 3  |-  ( E. x ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } )  <->  E. x
( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
10 df-3an 887 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  E. x  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } )  <-> 
( ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V )  /\  E. x  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
117, 9, 103bitr4ri 202 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  E. x  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } )  <->  E. x ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V  /\  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
12 3simpa 901 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  E. x  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } )  ->  ( A  e. 
_V  /\  B  e.  _V ) )
13 id 19 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)
14 snexgOLD 3931 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  { A }  e.  _V )
1514adantr 261 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  { A }  e.  _V )
16 prmg 3485 . . . . 5  |-  ( { A }  e.  _V  ->  E. x  x  e. 
{ { A } ,  { A ,  B } } )
1715, 16syl 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  E. x  x  e. 
{ { A } ,  { A ,  B } } )
1813, 17, 10sylanbrc 394 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  E. x  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } ) )
1912, 18impbii 117 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  E. x  x  e.  { { A } ,  { A ,  B } } )  <-> 
( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)
206, 11, 193bitr2i 197 1  |-  ( E. x  x  e.  <. A ,  B >.  <->  ( A  e.  _V  /\  B  e. 
_V ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 97    <-> wb 98    /\ w3a 885   E.wex 1381    e. wcel 1393   {cab 2026   _Vcvv 2554   {csn 3372   {cpr 3373   <.cop 3375
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3871  ax-pow 3923
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2556  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381
This theorem is referenced by:  opnzi  3968  opeqex  3982
  Copyright terms: Public domain W3C validator