Theorem opm 3971

Description: An ordered pair is inhabited iff the arguments are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
opm	⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem opm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-op 3384	. . . . 5 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ = {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})}
2	1	eleq2i 2104	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})})
3	2	exbii 1496	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})})
4		abid 2028	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})} ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
5	4	exbii 1496	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})} ↔ ∃𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
6	3, 5	bitri 173	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ ∃𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
7		19.42v 1786	. . 3 ⊢ (∃𝑥((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
8		df-3an 887	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
9	8	exbii 1496	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ∃𝑥((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
10		df-3an 887	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
11	7, 9, 10	3bitr4ri 202	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ ∃𝑥(𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
12		3simpa 901	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
13		id 19	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
14		snexgOLD 3935	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
15	14	adantr 261	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝐴} ∈ V)
16		prmg 3489	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ∈ V → ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
17	15, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
18	13, 17, 10	sylanbrc 394	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}))
19	12, 18	impbii 117	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
20	6, 11, 19	3bitr2i 197	1 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))

Syntax hints:   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 885  ∃wex 1381   ∈ wcel 1393  {cab 2026  Vcvv 2557  {csn 3375  {cpr 3376  ⟨cop 3378

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384

This theorem is referenced by:  opnzi  3972  opeqex  3986