Theorem opabid2 4467

Description: A relation expressed as an ordered pair abstraction. (Contributed by NM, 11-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
opabid2	|- ( Rel A -> { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } = A )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem opabid2

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2560	. . . 4 |- z e. _V
2		vex 2560	. . . 4 |- w e. _V
3		opeq1 3549	. . . . 5 |- ( x = z -> <. x , y >. = <. z , y >. )
4	3	eleq1d 2106	. . . 4 |- ( x = z -> ( <. x , y >. e. A <-> <. z , y >. e. A ) )
5		opeq2 3550	. . . . 5 |- ( y = w -> <. z , y >. = <. z , w >. )
6	5	eleq1d 2106	. . . 4 |- ( y = w -> ( <. z , y >. e. A <-> <. z , w >. e. A ) )
7	1, 2, 4, 6	opelopab 4008	. . 3 |- ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } <-> <. z , w >. e. A )
8	7	gen2 1339	. 2 |- A. z A. w ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } <-> <. z , w >. e. A )
9		relopab 4464	. . 3 |- Rel { <. x , y >. | <. x , y >. e. A }
10		eqrel 4429	. . 3 |- ( ( Rel { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } /\ Rel A ) -> ( { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } = A <-> A. z A. w ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } <-> <. z , w >. e. A ) ) )
11	9, 10	mpan 400	. 2 |- ( Rel A -> ( { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } = A <-> A. z A. w ( <. z , w >. e. { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } <-> <. z , w >. e. A ) ) )
12	8, 11	mpbiri 157	1 |- ( Rel A -> { <. x , y >. | <. x , y >. e. A } = A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 98   A.wal 1241   = wceq 1243   e. wcel 1393   <.cop 3378   {copab 3817   Rel wrel 4350

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-opab 3819  df-xp 4351  df-rel 4352

This theorem is referenced by:  opabbi2dv  4485