ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mpteqb Unicode version

Theorem mpteqb 5204
Description: Bidirectional equality theorem for a mapping abstraction. Equivalent to eqfnfv 5208. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
mpteqb  V  |->  |->  C  C
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()    C()    V()

Proof of Theorem mpteqb
StepHypRef Expression
1 elex 2560 . . 3  V  _V
21ralimi 2378 . 2  V  _V
3 fneq1 4930 . . . . . . 7  |->  |->  C  |->  Fn  |->  C  Fn
4 eqid 2037 . . . . . . . 8  |->  |->
54mptfng 4967 . . . . . . 7  _V  |->  Fn
6 eqid 2037 . . . . . . . 8  |->  C  |->  C
76mptfng 4967 . . . . . . 7  C  _V  |->  C  Fn
83, 5, 73bitr4g 212 . . . . . 6  |->  |->  C  _V  C  _V
98biimpd 132 . . . . 5  |->  |->  C  _V  C  _V
10 r19.26 2435 . . . . . . 7  _V  C  _V  _V  C  _V
11 nfmpt1 3841 . . . . . . . . . 10  F/_  |->
12 nfmpt1 3841 . . . . . . . . . 10  F/_  |->  C
1311, 12nfeq 2182 . . . . . . . . 9  F/  |->  |->  C
14 simpll 481 . . . . . . . . . . . 12  |->  |->  C  _V  C  _V  |->  |->  C
1514fveq1d 5123 . . . . . . . . . . 11  |->  |->  C  _V  C  _V  |->  `  |->  C `
164fvmpt2 5197 . . . . . . . . . . . 12  _V  |->  `
1716ad2ant2lr 479 . . . . . . . . . . 11  |->  |->  C  _V  C  _V  |->  `
186fvmpt2 5197 . . . . . . . . . . . 12  C  _V  |->  C `  C
1918ad2ant2l 477 . . . . . . . . . . 11  |->  |->  C  _V  C  _V  |->  C `  C
2015, 17, 193eqtr3d 2077 . . . . . . . . . 10  |->  |->  C  _V  C  _V  C
2120exp31 346 . . . . . . . . 9  |->  |->  C  _V  C  _V  C
2213, 21ralrimi 2384 . . . . . . . 8  |->  |->  C  _V  C  _V  C
23 ralim 2374 . . . . . . . 8  _V  C  _V  C  _V  C  _V  C
2422, 23syl 14 . . . . . . 7  |->  |->  C  _V  C  _V  C
2510, 24syl5bir 142 . . . . . 6  |->  |->  C  _V  C  _V  C
2625expd 245 . . . . 5  |->  |->  C  _V  C  _V  C
279, 26mpdd 36 . . . 4  |->  |->  C  _V  C
2827com12 27 . . 3  _V  |->  |->  C  C
29 eqid 2037 . . . 4
30 mpteq12 3831 . . . 4  C  |->  |->  C
3129, 30mpan 400 . . 3  C  |->  |->  C
3228, 31impbid1 130 . 2  _V  |->  |->  C  C
332, 32syl 14 1  V  |->  |->  C  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300   _Vcvv 2551    |-> cmpt 3809    Fn wfn 4840   ` cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853
This theorem is referenced by:  eqfnfv  5208  eufnfv  5332  offveqb  5672
  Copyright terms: Public domain W3C validator