Theorem iunpw 4211

Description: An indexed union of a power class in terms of the power class of the union of its index. Part of Exercise 24(b) of [Enderton] p. 33. (Contributed by NM, 29-Nov-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
iunpw.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
iunpw	|- ( E. x e. A x = U. A <-> ~P U. A = U_ x e. A ~P x )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem iunpw

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 2967	. . . . . . . 8 |- ( x = U. A -> ( y C_ x <-> y C_ U. A ) )
2	1	biimprcd 149	. . . . . . 7 |- ( y C_ U. A -> ( x = U. A -> y C_ x ) )
3	2	reximdv 2420	. . . . . 6 |- ( y C_ U. A -> ( E. x e. A x = U. A -> E. x e. A y C_ x ) )
4	3	com12 27	. . . . 5 |- ( E. x e. A x = U. A -> ( y C_ U. A -> E. x e. A y C_ x ) )
5		ssiun 3699	. . . . . 6 |- ( E. x e. A y C_ x -> y C_ U_ x e. A x )
6		uniiun 3710	. . . . . 6 |- U. A = U_ x e. A x
7	5, 6	syl6sseqr 2992	. . . . 5 |- ( E. x e. A y C_ x -> y C_ U. A )
8	4, 7	impbid1 130	. . . 4 |- ( E. x e. A x = U. A -> ( y C_ U. A <-> E. x e. A y C_ x ) )
9		vex 2560	. . . . 5 |- y e. _V
10	9	elpw 3365	. . . 4 |- ( y e. ~P U. A <-> y C_ U. A )
11		eliun 3661	. . . . 5 |- ( y e. U_ x e. A ~P x <-> E. x e. A y e. ~P x )
12		df-pw 3361	. . . . . . 7 |- ~P x = { y | y C_ x }
13	12	abeq2i 2148	. . . . . 6 |- ( y e. ~P x <-> y C_ x )
14	13	rexbii 2331	. . . . 5 |- ( E. x e. A y e. ~P x <-> E. x e. A y C_ x )
15	11, 14	bitri 173	. . . 4 |- ( y e. U_ x e. A ~P x <-> E. x e. A y C_ x )
16	8, 10, 15	3bitr4g 212	. . 3 |- ( E. x e. A x = U. A -> ( y e. ~P U. A <-> y e. U_ x e. A ~P x ) )
17	16	eqrdv 2038	. 2 |- ( E. x e. A x = U. A -> ~P U. A = U_ x e. A ~P x )
18		ssid 2964	. . . . 5 |- U. A C_ U. A
19		iunpw.1	. . . . . . . 8 |- A e. _V
20	19	uniex 4174	. . . . . . 7 |- U. A e. _V
21	20	elpw 3365	. . . . . 6 |- ( U. A e. ~P U. A <-> U. A C_ U. A )
22		eleq2 2101	. . . . . 6 |- ( ~P U. A = U_ x e. A ~P x -> ( U. A e. ~P U. A <-> U. A e. U_ x e. A ~P x ) )
23	21, 22	syl5bbr 183	. . . . 5 |- ( ~P U. A = U_ x e. A ~P x -> ( U. A C_ U. A <-> U. A e. U_ x e. A ~P x ) )
24	18, 23	mpbii 136	. . . 4 |- ( ~P U. A = U_ x e. A ~P x -> U. A e. U_ x e. A ~P x )
25		eliun 3661	. . . 4 |- ( U. A e. U_ x e. A ~P x <-> E. x e. A U. A e. ~P x )
26	24, 25	sylib 127	. . 3 |- ( ~P U. A = U_ x e. A ~P x -> E. x e. A U. A e. ~P x )
27		elssuni 3608	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> x C_ U. A )
28		elpwi 3368	. . . . . . 7 |- ( U. A e. ~P x -> U. A C_ x )
29	27, 28	anim12i 321	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ U. A e. ~P x ) -> ( x C_ U. A /\ U. A C_ x ) )
30		eqss 2960	. . . . . 6 |- ( x = U. A <-> ( x C_ U. A /\ U. A C_ x ) )
31	29, 30	sylibr 137	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ U. A e. ~P x ) -> x = U. A )
32	31	ex 108	. . . 4 |- ( x e. A -> ( U. A e. ~P x -> x = U. A ) )
33	32	reximia 2414	. . 3 |- ( E. x e. A U. A e. ~P x -> E. x e. A x = U. A )
34	26, 33	syl 14	. 2 |- ( ~P U. A = U_ x e. A ~P x -> E. x e. A x = U. A )
35	17, 34	impbii 117	1 |- ( E. x e. A x = U. A <-> ~P U. A = U_ x e. A ~P x )

Syntax hints:   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   e. wcel 1393   E.wrex 2307   _Vcvv 2557   C_ wss 2917   ~Pcpw 3359   U.cuni 3580   U_ciun 3657

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-uni 3581  df-iun 3659

This theorem is referenced by: (None)