ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  iunpw Structured version   Unicode version

Theorem iunpw 4177
Description: An indexed union of a power class in terms of the power class of the union of its index. Part of Exercise 24(b) of [Enderton] p. 33. (Contributed by NM, 29-Nov-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
iunpw.1  _V
Assertion
Ref Expression
iunpw  U.  ~P U.  U_  ~P
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem iunpw
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq2 2961 . . . . . . . 8  U.  C_  C_  U.
21biimprcd 149 . . . . . . 7 
C_  U.  U.  C_
32reximdv 2414 . . . . . 6 
C_  U.  U. 
C_
43com12 27 . . . . 5  U.  C_  U. 
C_
5 ssiun 3690 . . . . . 6  C_  C_  U_
6 uniiun 3701 . . . . . 6  U.  U_
75, 6syl6sseqr 2986 . . . . 5  C_  C_  U.
84, 7impbid1 130 . . . 4  U.  C_  U.  C_
9 vex 2554 . . . . 5 
_V
109elpw 3357 . . . 4  ~P U.  C_  U.
11 eliun 3652 . . . . 5  U_  ~P  ~P
12 df-pw 3353 . . . . . . 7  ~P  {  | 
C_  }
1312abeq2i 2145 . . . . . 6  ~P  C_
1413rexbii 2325 . . . . 5  ~P  C_
1511, 14bitri 173 . . . 4  U_  ~P  C_
168, 10, 153bitr4g 212 . . 3  U.  ~P U.  U_  ~P
1716eqrdv 2035 . 2  U.  ~P U.  U_  ~P
18 ssid 2958 . . . . 5  U.  C_ 
U.
19 iunpw.1 . . . . . . . 8  _V
2019uniex 4140 . . . . . . 7  U.  _V
2120elpw 3357 . . . . . 6  U.  ~P U.  U.  C_  U.
22 eleq2 2098 . . . . . 6  ~P
U.  U_  ~P  U.  ~P U.  U.  U_  ~P
2321, 22syl5bbr 183 . . . . 5  ~P
U.  U_  ~P  U.  C_ 
U.  U.  U_  ~P
2418, 23mpbii 136 . . . 4  ~P
U.  U_  ~P  U.  U_  ~P
25 eliun 3652 . . . 4  U.  U_  ~P  U.  ~P
2624, 25sylib 127 . . 3  ~P
U.  U_  ~P  U.  ~P
27 elssuni 3599 . . . . . . 7  C_ 
U.
28 elpwi 3360 . . . . . . 7  U.  ~P  U.  C_
2927, 28anim12i 321 . . . . . 6  U.  ~P  C_  U.  U.  C_
30 eqss 2954 . . . . . 6  U. 
C_  U.  U.  C_
3129, 30sylibr 137 . . . . 5  U.  ~P  U.
3231ex 108 . . . 4  U.  ~P  U.
3332reximia 2408 . . 3  U.  ~P  U.
3426, 33syl 14 . 2  ~P
U.  U_  ~P  U.
3517, 34impbii 117 1  U.  ~P U.  U_  ~P
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301   _Vcvv 2551    C_ wss 2911   ~Pcpw 3351   U.cuni 3571   U_ciun 3648
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-uni 3572  df-iun 3650
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator