ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isopolem Structured version   Unicode version

Theorem isopolem 5404
Description: Lemma for isopo 5405. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
isopolem  H 
Isom  R ,  S  ,  S  Po  R  Po

Proof of Theorem isopolem
Dummy variables  a  b  c  d  e are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isof1o 5390 . . . . . . . . . . 11  H 
Isom  R ,  S  ,  H : -1-1-onto->
2 f1of 5069 . . . . . . . . . . 11  H : -1-1-onto->  H :
-->
3 ffvelrn 5243 . . . . . . . . . . . . 13  H : -->  d  H `  d
43ex 108 . . . . . . . . . . . 12  H : -->  d  H `  d
5 ffvelrn 5243 . . . . . . . . . . . . 13  H : -->  e  H `  e
65ex 108 . . . . . . . . . . . 12  H : -->  e  H `  e
7 ffvelrn 5243 . . . . . . . . . . . . 13  H : -->  H `
87ex 108 . . . . . . . . . . . 12  H : -->  H `
94, 6, 83anim123d 1213 . . . . . . . . . . 11  H : -->  d  e  H `
 d  H `
 e  H `
101, 2, 93syl 17 . . . . . . . . . 10  H 
Isom  R ,  S  ,  d  e  H `  d  H `  e  H `
1110imp 115 . . . . . . . . 9  H  Isom  R ,  S  ,  d  e  H `  d  H `  e  H `
12 breq12 3760 . . . . . . . . . . . . 13  a  H `
 d  a  H `  d  a S a  H `  d S H `  d
1312anidms 377 . . . . . . . . . . . 12  a  H `  d 
a S a  H `
 d S H `  d
1413notbid 591 . . . . . . . . . . 11  a  H `  d  a S a  H `  d S H `  d
15 breq1 3758 . . . . . . . . . . . . 13  a  H `  d 
a S b  H `
 d S b
1615anbi1d 438 . . . . . . . . . . . 12  a  H `  d  a S b  b S c  H `  d S b  b S c
17 breq1 3758 . . . . . . . . . . . 12  a  H `  d 
a S c  H `
 d S c
1816, 17imbi12d 223 . . . . . . . . . . 11  a  H `  d  a S b  b S c  a S c  H `
 d S b  b S c  H `  d S c
1914, 18anbi12d 442 . . . . . . . . . 10  a  H `  d  a S a  a S b  b S c  a S c  H `
 d S H `  d  H `  d S b  b S c  H `  d S c
20 breq2 3759 . . . . . . . . . . . . 13  b  H `  e  H `  d S b  H `
 d S H `  e
21 breq1 3758 . . . . . . . . . . . . 13  b  H `  e 
b S c  H `
 e S c
2220, 21anbi12d 442 . . . . . . . . . . . 12  b  H `  e  H `  d S b  b S c  H `  d S H `  e  H `  e S c
2322imbi1d 220 . . . . . . . . . . 11  b  H `  e  H `  d S b  b S c  H `  d S c  H `  d S H `  e  H `  e S c  H `  d S c
2423anbi2d 437 . . . . . . . . . 10  b  H `  e  H `  d S H `  d  H `
 d S b  b S c  H `  d S c  H `
 d S H `  d  H `  d S H `  e  H `  e S c  H `  d S c
25 breq2 3759 . . . . . . . . . . . . 13  c  H `  H `  e S c  H `
 e S H `
2625anbi2d 437 . . . . . . . . . . . 12  c  H `  H `  d S H `  e  H `  e S c  H `  d S H `  e  H `  e S H `
27 breq2 3759 . . . . . . . . . . . 12  c  H `  H `  d S c  H `
 d S H `
2826, 27imbi12d 223 . . . . . . . . . . 11  c  H `  H `  d S H `  e  H `  e S c  H `  d S c  H `  d S H `  e  H `  e S H `  H `  d S H `
2928anbi2d 437 . . . . . . . . . 10  c  H `  H `  d S H `  d  H `
 d S H `  e  H `  e S c  H `
 d S c  H `  d S H `  d  H `  d S H `  e  H `  e S H `  H `  d S H `
3019, 24, 29rspc3v 2659 . . . . . . . . 9  H `  d  H `  e  H `  a  b  c  a S a  a S b  b S c  a S c  H `  d S H `  d  H `  d S H `  e  H `  e S H `  H `  d S H `
3111, 30syl 14 . . . . . . . 8  H  Isom  R ,  S  ,  d  e  a  b  c  a S a  a S b  b S c  a S c  H `  d S H `  d  H `  d S H `  e  H `  e S H `  H `  d S H `
32 simpl 102 . . . . . . . . . . 11  H  Isom  R ,  S  ,  d  e 
H  Isom  R ,  S  ,
33 simpr1 909 . . . . . . . . . . 11  H  Isom  R ,  S  ,  d  e  d
34 isorel 5391 . . . . . . . . . . 11  H  Isom  R ,  S  ,  d  d  d R d  H `  d S H `  d
3532, 33, 33, 34syl12anc 1132 . . . . . . . . . 10  H  Isom  R ,  S  ,  d  e  d R d  H `  d S H `  d
3635notbid 591 . . . . . . . . 9  H  Isom  R ,  S  ,  d  e  d R d  H `  d S H `  d
37 simpr2 910 . . . . . . . . . . . 12  H  Isom  R ,  S  ,  d  e  e
38 isorel 5391 . . . . . . . . . . . 12  H  Isom  R ,  S  ,  d  e  d R e  H `  d S H `  e
3932, 33, 37, 38syl12anc 1132 . . . . . . . . . . 11  H  Isom  R ,  S  ,  d  e  d R e  H `  d S H `  e
40 simpr3 911 . . . . . . . . . . . 12  H  Isom  R ,  S  ,  d  e
41 isorel 5391 . . . . . . . . . . . 12  H  Isom  R ,  S  ,  e  e R  H `  e S H `
4232, 37, 40, 41syl12anc 1132 . . . . . . . . . . 11  H  Isom  R ,  S  ,  d  e  e R  H `  e S H `
4339, 42anbi12d 442 . . . . . . . . . 10  H  Isom  R ,  S  ,  d  e  d R e  e R  H `  d S H `  e  H `  e S H `
44 isorel 5391 . . . . . . . . . . 11  H  Isom  R ,  S  ,  d  d R  H `  d S H `
4532, 33, 40, 44syl12anc 1132 . . . . . . . . . 10  H  Isom  R ,  S  ,  d  e  d R  H `  d S H `
4643, 45imbi12d 223 . . . . . . . . 9  H  Isom  R ,  S  ,  d  e  d R e  e R  d R  H `  d S H `  e  H `  e S H `  H `  d S H `
4736, 46anbi12d 442 . . . . . . . 8  H  Isom  R ,  S  ,  d  e  d R d  d R e  e R  d R  H `  d S H `  d  H `  d S H `  e  H `  e S H `  H `  d S H `
4831, 47sylibrd 158 . . . . . . 7  H  Isom  R ,  S  ,  d  e  a  b  c  a S a  a S b  b S c  a S c  d R d  d R e  e R  d R
4948ex 108 . . . . . 6  H 
Isom  R ,  S  ,  d  e  a  b  c  a S a  a S b  b S c  a S c  d R d  d R e  e R  d R
5049com23 72 . . . . 5  H 
Isom  R ,  S  ,  a  b  c  a S a  a S b  b S c  a S c  d  e  d R d  d R e  e R  d R
5150imp31 243 . . . 4  H  Isom  R ,  S  ,  a  b  c  a S a  a S b  b S c  a S c 
d  e  d R d  d R e  e R  d R
5251ralrimivvva 2396 . . 3  H  Isom  R ,  S  ,  a  b  c  a S a  a S b  b S c  a S c  d  e  d R d  d R e  e R  d R
5352ex 108 . 2  H 
Isom  R ,  S  ,  a  b  c  a S a  a S b  b S c  a S c  d  e  d R d  d R e  e R  d R
54 df-po 4024 . 2  S  Po  a  b  c  a S a  a S b  b S c  a S c
55 df-po 4024 . 2  R  Po  d  e  d R d  d R e  e R  d R
5653, 54, 553imtr4g 194 1  H 
Isom  R ,  S  ,  S  Po  R  Po
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300   class class class wbr 3755    Po wpo 4022   -->wf 4841   -1-1-onto->wf1o 4844   ` cfv 4845    Isom wiso 4846
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-po 4024  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-isom 4854
This theorem is referenced by:  isopo  5405  isosolem  5406
  Copyright terms: Public domain W3C validator