Theorem inuni 3909

Description: The intersection of a union U. A with a class B is equal to the union of the intersections of each element of A with B. (Contributed by FL, 24-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
inuni	|- ( U. A i^i B ) = U. { x | E. y e. A x = ( y i^i B ) }

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem inuni

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluni2 3584	. . . . 5 |- ( z e. U. A <-> E. y e. A z e. y )
2	1	anbi1i 431	. . . 4 |- ( ( z e. U. A /\ z e. B ) <-> ( E. y e. A z e. y /\ z e. B ) )
3		elin 3126	. . . 4 |- ( z e. ( U. A i^i B ) <-> ( z e. U. A /\ z e. B ) )
4		ancom 253	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) <-> ( E. y e. A x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
5		r19.41v 2466	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. A ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> ( E. y e. A x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
6	4, 5	bitr4i 176	. . . . . . 7 |- ( ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) <-> E. y e. A ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
7	6	exbii 1496	. . . . . 6 |- ( E. x ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) <-> E. x E. y e. A ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
8		rexcom4 2577	. . . . . 6 |- ( E. y e. A E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> E. x E. y e. A ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
9	7, 8	bitr4i 176	. . . . 5 |- ( E. x ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) <-> E. y e. A E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) )
10		vex 2560	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
11	10	inex1 3891	. . . . . . . . 9 |- ( y i^i B ) e. _V
12		eleq2 2101	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y i^i B ) -> ( z e. x <-> z e. ( y i^i B ) ) )
13	11, 12	ceqsexv 2593	. . . . . . . 8 |- ( E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> z e. ( y i^i B ) )
14		elin 3126	. . . . . . . 8 |- ( z e. ( y i^i B ) <-> ( z e. y /\ z e. B ) )
15	13, 14	bitri 173	. . . . . . 7 |- ( E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> ( z e. y /\ z e. B ) )
16	15	rexbii 2331	. . . . . 6 |- ( E. y e. A E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> E. y e. A ( z e. y /\ z e. B ) )
17		r19.41v 2466	. . . . . 6 |- ( E. y e. A ( z e. y /\ z e. B ) <-> ( E. y e. A z e. y /\ z e. B ) )
18	16, 17	bitri 173	. . . . 5 |- ( E. y e. A E. x ( x = ( y i^i B ) /\ z e. x ) <-> ( E. y e. A z e. y /\ z e. B ) )
19	9, 18	bitri 173	. . . 4 |- ( E. x ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) <-> ( E. y e. A z e. y /\ z e. B ) )
20	2, 3, 19	3bitr4i 201	. . 3 |- ( z e. ( U. A i^i B ) <-> E. x ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) )
21		eluniab 3592	. . 3 |- ( z e. U. { x | E. y e. A x = ( y i^i B ) } <-> E. x ( z e. x /\ E. y e. A x = ( y i^i B ) ) )
22	20, 21	bitr4i 176	. 2 |- ( z e. ( U. A i^i B ) <-> z e. U. { x | E. y e. A x = ( y i^i B ) } )
23	22	eqriv 2037	1 |- ( U. A i^i B ) = U. { x | E. y e. A x = ( y i^i B ) }

Syntax hints:   /\ wa 97   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   {cab 2026   E.wrex 2307   i^i cin 2916   U.cuni 3580

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-rex 2312  df-v 2559  df-in 2924  df-uni 3581

This theorem is referenced by: (None)