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Theorem intun 3646
Description: The class intersection of the union of two classes. Theorem 78 of [Suppes] p. 42. (Contributed by NM, 22-Sep-2002.)
Assertion
Ref Expression
intun  |-  |^| ( A  u.  B )  =  ( |^| A  i^i  |^| B )

Proof of Theorem intun
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 19.26 1370 . . . 4  |-  ( A. y ( ( y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  (
y  e.  B  ->  x  e.  y )
)  <->  ( A. y
( y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  A. y ( y  e.  B  ->  x  e.  y )
) )
2 elun 3084 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( A  u.  B )  <->  ( y  e.  A  \/  y  e.  B ) )
32imbi1i 227 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( A  u.  B )  ->  x  e.  y )  <->  ( ( y  e.  A  \/  y  e.  B
)  ->  x  e.  y ) )
4 jaob 631 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  A  \/  y  e.  B
)  ->  x  e.  y )  <->  ( (
y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  ( y  e.  B  ->  x  e.  y ) ) )
53, 4bitri 173 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( A  u.  B )  ->  x  e.  y )  <->  ( ( y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  ( y  e.  B  ->  x  e.  y ) ) )
65albii 1359 . . . 4  |-  ( A. y ( y  e.  ( A  u.  B
)  ->  x  e.  y )  <->  A. y
( ( y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  (
y  e.  B  ->  x  e.  y )
) )
7 vex 2560 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
87elint 3621 . . . . 5  |-  ( x  e.  |^| A  <->  A. y
( y  e.  A  ->  x  e.  y ) )
97elint 3621 . . . . 5  |-  ( x  e.  |^| B  <->  A. y
( y  e.  B  ->  x  e.  y ) )
108, 9anbi12i 433 . . . 4  |-  ( ( x  e.  |^| A  /\  x  e.  |^| B
)  <->  ( A. y
( y  e.  A  ->  x  e.  y )  /\  A. y ( y  e.  B  ->  x  e.  y )
) )
111, 6, 103bitr4i 201 . . 3  |-  ( A. y ( y  e.  ( A  u.  B
)  ->  x  e.  y )  <->  ( x  e.  |^| A  /\  x  e.  |^| B ) )
127elint 3621 . . 3  |-  ( x  e.  |^| ( A  u.  B )  <->  A. y
( y  e.  ( A  u.  B )  ->  x  e.  y ) )
13 elin 3126 . . 3  |-  ( x  e.  ( |^| A  i^i  |^| B )  <->  ( x  e.  |^| A  /\  x  e.  |^| B ) )
1411, 12, 133bitr4i 201 . 2  |-  ( x  e.  |^| ( A  u.  B )  <->  x  e.  ( |^| A  i^i  |^| B ) )
1514eqriv 2037 1  |-  |^| ( A  u.  B )  =  ( |^| A  i^i  |^| B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    \/ wo 629   A.wal 1241    = wceq 1243    e. wcel 1393    u. cun 2915    i^i cin 2916   |^|cint 3615
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-int 3616
This theorem is referenced by:  intunsn  3653  riinint  4593
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