Theorem intun 3646

Description: The class intersection of the union of two classes. Theorem 78 of [Suppes] p. 42. (Contributed by NM, 22-Sep-2002.)

Assertion

Ref	Expression
intun	|- |^| ( A u. B ) = ( |^| A i^i |^| B )

Proof of Theorem intun

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.26 1370	. . . 4 |- ( A. y ( ( y e. A -> x e. y ) /\ ( y e. B -> x e. y ) ) <-> ( A. y ( y e. A -> x e. y ) /\ A. y ( y e. B -> x e. y ) ) )
2		elun 3084	. . . . . . 7 |- ( y e. ( A u. B ) <-> ( y e. A \/ y e. B ) )
3	2	imbi1i 227	. . . . . 6 |- ( ( y e. ( A u. B ) -> x e. y ) <-> ( ( y e. A \/ y e. B ) -> x e. y ) )
4		jaob 631	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. A \/ y e. B ) -> x e. y ) <-> ( ( y e. A -> x e. y ) /\ ( y e. B -> x e. y ) ) )
5	3, 4	bitri 173	. . . . 5 |- ( ( y e. ( A u. B ) -> x e. y ) <-> ( ( y e. A -> x e. y ) /\ ( y e. B -> x e. y ) ) )
6	5	albii 1359	. . . 4 |- ( A. y ( y e. ( A u. B ) -> x e. y ) <-> A. y ( ( y e. A -> x e. y ) /\ ( y e. B -> x e. y ) ) )
7		vex 2560	. . . . . 6 |- x e. _V
8	7	elint 3621	. . . . 5 |- ( x e. |^| A <-> A. y ( y e. A -> x e. y ) )
9	7	elint 3621	. . . . 5 |- ( x e. |^| B <-> A. y ( y e. B -> x e. y ) )
10	8, 9	anbi12i 433	. . . 4 |- ( ( x e. |^| A /\ x e. |^| B ) <-> ( A. y ( y e. A -> x e. y ) /\ A. y ( y e. B -> x e. y ) ) )
11	1, 6, 10	3bitr4i 201	. . 3 |- ( A. y ( y e. ( A u. B ) -> x e. y ) <-> ( x e. |^| A /\ x e. |^| B ) )
12	7	elint 3621	. . 3 |- ( x e. |^| ( A u. B ) <-> A. y ( y e. ( A u. B ) -> x e. y ) )
13		elin 3126	. . 3 |- ( x e. ( |^| A i^i |^| B ) <-> ( x e. |^| A /\ x e. |^| B ) )
14	11, 12, 13	3bitr4i 201	. 2 |- ( x e. |^| ( A u. B ) <-> x e. ( |^| A i^i |^| B ) )
15	14	eqriv 2037	1 |- |^| ( A u. B ) = ( |^| A i^i |^| B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   \/ wo 629   A.wal 1241   = wceq 1243   e. wcel 1393   u. cun 2915   i^i cin 2916   |^|cint 3615

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-int 3616

This theorem is referenced by:  intunsn  3653  riinint  4593