ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fmptpr Structured version   Unicode version

Theorem fmptpr 5276
Description: Express a pair function in maps-to notation. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmptpr.1  V
fmptpr.2  W
fmptpr.3  C  X
fmptpr.4  D  Y
fmptpr.5  E  C
fmptpr.6  E  D
Assertion
Ref Expression
fmptpr  { <. ,  C >. ,  <. ,  D >. }  { ,  }  |->  E
Distinct variable groups:   ,   ,   , C   , D   ,
Allowed substitution hints:    E()    V()    W()    X()    Y()

Proof of Theorem fmptpr
StepHypRef Expression
1 df-pr 3353 . . 3  { <. ,  C >. ,  <. ,  D >. }  { <. ,  C >. }  u.  { <. ,  D >. }
21a1i 9 . 2  { <. ,  C >. ,  <. ,  D >. }  { <. ,  C >. }  u.  { <. ,  D >. }
3 mpt0 4948 . . . . . 6  (/)  |->  E  (/)
43uneq1i 3066 . . . . 5  (/)  |->  E  u.  { <. ,  C >. }  (/)  u.  { <. ,  C >. }
5 uncom 3060 . . . . 5  (/)  u. 
{ <. ,  C >. }  { <. ,  C >. }  u.  (/)
6 un0 3224 . . . . 5  { <. ,  C >. }  u.  (/)  { <. ,  C >. }
74, 5, 63eqtri 2042 . . . 4  (/)  |->  E  u.  { <. ,  C >. }  { <. ,  C >. }
8 fmptpr.1 . . . . . 6  V
9 elex 2539 . . . . . 6  V  _V
108, 9syl 14 . . . . 5  _V
11 fmptpr.3 . . . . . 6  C  X
12 elex 2539 . . . . . 6  C  X  C  _V
1311, 12syl 14 . . . . 5  C  _V
14 uncom 3060 . . . . . . 7  { }  u.  (/)  (/)  u.  { }
15 un0 3224 . . . . . . 7  { }  u.  (/)  { }
1614, 15eqtr3i 2040 . . . . . 6  (/)  u. 
{ }  { }
1716a1i 9 . . . . 5  (/)  u.  { }  { }
18 fmptpr.5 . . . . 5  E  C
1910, 13, 17, 18fmptapd 5275 . . . 4  (/)  |->  E  u. 
{ <. ,  C >. }  { }  |->  E
207, 19syl5eqr 2064 . . 3  { <. ,  C >. }  { }  |->  E
2120uneq1d 3069 . 2  { <. ,  C >. }  u.  { <. ,  D >. }  { }  |->  E  u. 
{ <. ,  D >. }
22 fmptpr.2 . . . 4  W
23 elex 2539 . . . 4  W  _V
2422, 23syl 14 . . 3  _V
25 fmptpr.4 . . . 4  D  Y
26 elex 2539 . . . 4  D  Y  D  _V
2725, 26syl 14 . . 3  D  _V
28 df-pr 3353 . . . . 5  { ,  }  { }  u.  { }
2928eqcomi 2022 . . . 4  { }  u.  { }  { ,  }
3029a1i 9 . . 3  { }  u.  { }  { ,  }
31 fmptpr.6 . . 3  E  D
3224, 27, 30, 31fmptapd 5275 . 2 
{ }  |->  E  u.  { <. ,  D >. } 
{ ,  }  |->  E
332, 21, 323eqtrd 2054 1  { <. ,  C >. ,  <. ,  D >. }  { ,  }  |->  E
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1226   wcel 1370   _Vcvv 2531    u. cun 2888   (/)c0 3197   {csn 3346   {cpr 3347   <.cop 3349    |-> cmpt 3788
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-nul 3853  ax-pow 3897  ax-pr 3914
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-fal 1232  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-reu 2287  df-v 2533  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-nul 3198  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-br 3735  df-opab 3789  df-mpt 3790  df-id 4000  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-fun 4827  df-fn 4828  df-f 4829  df-f1 4830  df-fo 4831  df-f1o 4832
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator