ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fmptpr Structured version   Unicode version

Theorem fmptpr 5298
Description: Express a pair function in maps-to notation. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmptpr.1  V
fmptpr.2  W
fmptpr.3  C  X
fmptpr.4  D  Y
fmptpr.5  E  C
fmptpr.6  E  D
Assertion
Ref Expression
fmptpr  { <. ,  C >. ,  <. ,  D >. }  { ,  }  |->  E
Distinct variable groups:   ,   ,   , C   , D   ,
Allowed substitution hints:    E()    V()    W()    X()    Y()

Proof of Theorem fmptpr
StepHypRef Expression
1 df-pr 3374 . . 3  { <. ,  C >. ,  <. ,  D >. }  { <. ,  C >. }  u.  { <. ,  D >. }
21a1i 9 . 2  { <. ,  C >. ,  <. ,  D >. }  { <. ,  C >. }  u.  { <. ,  D >. }
3 mpt0 4969 . . . . . 6  (/)  |->  E  (/)
43uneq1i 3087 . . . . 5  (/)  |->  E  u.  { <. ,  C >. }  (/)  u.  { <. ,  C >. }
5 uncom 3081 . . . . 5  (/)  u. 
{ <. ,  C >. }  { <. ,  C >. }  u.  (/)
6 un0 3245 . . . . 5  { <. ,  C >. }  u.  (/)  { <. ,  C >. }
74, 5, 63eqtri 2061 . . . 4  (/)  |->  E  u.  { <. ,  C >. }  { <. ,  C >. }
8 fmptpr.1 . . . . . 6  V
9 elex 2560 . . . . . 6  V  _V
108, 9syl 14 . . . . 5  _V
11 fmptpr.3 . . . . . 6  C  X
12 elex 2560 . . . . . 6  C  X  C  _V
1311, 12syl 14 . . . . 5  C  _V
14 uncom 3081 . . . . . . 7  { }  u.  (/)  (/)  u.  { }
15 un0 3245 . . . . . . 7  { }  u.  (/)  { }
1614, 15eqtr3i 2059 . . . . . 6  (/)  u. 
{ }  { }
1716a1i 9 . . . . 5  (/)  u.  { }  { }
18 fmptpr.5 . . . . 5  E  C
1910, 13, 17, 18fmptapd 5297 . . . 4  (/)  |->  E  u. 
{ <. ,  C >. }  { }  |->  E
207, 19syl5eqr 2083 . . 3  { <. ,  C >. }  { }  |->  E
2120uneq1d 3090 . 2  { <. ,  C >. }  u.  { <. ,  D >. }  { }  |->  E  u. 
{ <. ,  D >. }
22 fmptpr.2 . . . 4  W
23 elex 2560 . . . 4  W  _V
2422, 23syl 14 . . 3  _V
25 fmptpr.4 . . . 4  D  Y
26 elex 2560 . . . 4  D  Y  D  _V
2725, 26syl 14 . . 3  D  _V
28 df-pr 3374 . . . . 5  { ,  }  { }  u.  { }
2928eqcomi 2041 . . . 4  { }  u.  { }  { ,  }
3029a1i 9 . . 3  { }  u.  { }  { ,  }
31 fmptpr.6 . . 3  E  D
3224, 27, 30, 31fmptapd 5297 . 2 
{ }  |->  E  u.  { <. ,  D >. } 
{ ,  }  |->  E
332, 21, 323eqtrd 2073 1  { <. ,  C >. ,  <. ,  D >. }  { ,  }  |->  E
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242   wcel 1390   _Vcvv 2551    u. cun 2909   (/)c0 3218   {csn 3367   {cpr 3368   <.cop 3370    |-> cmpt 3809
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator