ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fmptpr Structured version   GIF version

Theorem fmptpr 5298
Description: Express a pair function in maps-to notation. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmptpr.1 (φA 𝑉)
fmptpr.2 (φB 𝑊)
fmptpr.3 (φ𝐶 𝑋)
fmptpr.4 (φ𝐷 𝑌)
fmptpr.5 ((φ x = A) → 𝐸 = 𝐶)
fmptpr.6 ((φ x = B) → 𝐸 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
fmptpr (φ → {⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩} = (x {A, B} ↦ 𝐸))
Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,𝐶   x,𝐷   φ,x
Allowed substitution hints:   𝐸(x)   𝑉(x)   𝑊(x)   𝑋(x)   𝑌(x)

Proof of Theorem fmptpr
StepHypRef Expression
1 df-pr 3374 . . 3 {⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩} = ({⟨A, 𝐶⟩} ∪ {⟨B, 𝐷⟩})
21a1i 9 . 2 (φ → {⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩} = ({⟨A, 𝐶⟩} ∪ {⟨B, 𝐷⟩}))
3 mpt0 4969 . . . . . 6 (x ∅ ↦ 𝐸) = ∅
43uneq1i 3087 . . . . 5 ((x ∅ ↦ 𝐸) ∪ {⟨A, 𝐶⟩}) = (∅ ∪ {⟨A, 𝐶⟩})
5 uncom 3081 . . . . 5 (∅ ∪ {⟨A, 𝐶⟩}) = ({⟨A, 𝐶⟩} ∪ ∅)
6 un0 3245 . . . . 5 ({⟨A, 𝐶⟩} ∪ ∅) = {⟨A, 𝐶⟩}
74, 5, 63eqtri 2061 . . . 4 ((x ∅ ↦ 𝐸) ∪ {⟨A, 𝐶⟩}) = {⟨A, 𝐶⟩}
8 fmptpr.1 . . . . . 6 (φA 𝑉)
9 elex 2560 . . . . . 6 (A 𝑉A V)
108, 9syl 14 . . . . 5 (φA V)
11 fmptpr.3 . . . . . 6 (φ𝐶 𝑋)
12 elex 2560 . . . . . 6 (𝐶 𝑋𝐶 V)
1311, 12syl 14 . . . . 5 (φ𝐶 V)
14 uncom 3081 . . . . . . 7 ({A} ∪ ∅) = (∅ ∪ {A})
15 un0 3245 . . . . . . 7 ({A} ∪ ∅) = {A}
1614, 15eqtr3i 2059 . . . . . 6 (∅ ∪ {A}) = {A}
1716a1i 9 . . . . 5 (φ → (∅ ∪ {A}) = {A})
18 fmptpr.5 . . . . 5 ((φ x = A) → 𝐸 = 𝐶)
1910, 13, 17, 18fmptapd 5297 . . . 4 (φ → ((x ∅ ↦ 𝐸) ∪ {⟨A, 𝐶⟩}) = (x {A} ↦ 𝐸))
207, 19syl5eqr 2083 . . 3 (φ → {⟨A, 𝐶⟩} = (x {A} ↦ 𝐸))
2120uneq1d 3090 . 2 (φ → ({⟨A, 𝐶⟩} ∪ {⟨B, 𝐷⟩}) = ((x {A} ↦ 𝐸) ∪ {⟨B, 𝐷⟩}))
22 fmptpr.2 . . . 4 (φB 𝑊)
23 elex 2560 . . . 4 (B 𝑊B V)
2422, 23syl 14 . . 3 (φB V)
25 fmptpr.4 . . . 4 (φ𝐷 𝑌)
26 elex 2560 . . . 4 (𝐷 𝑌𝐷 V)
2725, 26syl 14 . . 3 (φ𝐷 V)
28 df-pr 3374 . . . . 5 {A, B} = ({A} ∪ {B})
2928eqcomi 2041 . . . 4 ({A} ∪ {B}) = {A, B}
3029a1i 9 . . 3 (φ → ({A} ∪ {B}) = {A, B})
31 fmptpr.6 . . 3 ((φ x = B) → 𝐸 = 𝐷)
3224, 27, 30, 31fmptapd 5297 . 2 (φ → ((x {A} ↦ 𝐸) ∪ {⟨B, 𝐷⟩}) = (x {A, B} ↦ 𝐸))
332, 21, 323eqtrd 2073 1 (φ → {⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩} = (x {A, B} ↦ 𝐸))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  Vcvv 2551  cun 2909  c0 3218  {csn 3367  {cpr 3368  cop 3370  cmpt 3809
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator