Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fmptpr Structured version   GIF version

Theorem fmptpr 5280
 Description: Express a pair function in maps-to notation. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmptpr.1 (φA 𝑉)
fmptpr.2 (φB 𝑊)
fmptpr.3 (φ𝐶 𝑋)
fmptpr.4 (φ𝐷 𝑌)
fmptpr.5 ((φ x = A) → 𝐸 = 𝐶)
fmptpr.6 ((φ x = B) → 𝐸 = 𝐷)
Assertion
Ref Expression
fmptpr (φ → {⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩} = (x {A, B} ↦ 𝐸))
Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,𝐶   x,𝐷   φ,x
Allowed substitution hints:   𝐸(x)   𝑉(x)   𝑊(x)   𝑋(x)   𝑌(x)

Proof of Theorem fmptpr
StepHypRef Expression
1 df-pr 3357 . . 3 {⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩} = ({⟨A, 𝐶⟩} ∪ {⟨B, 𝐷⟩})
21a1i 9 . 2 (φ → {⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩} = ({⟨A, 𝐶⟩} ∪ {⟨B, 𝐷⟩}))
3 mpt0 4952 . . . . . 6 (x ∅ ↦ 𝐸) = ∅
43uneq1i 3070 . . . . 5 ((x ∅ ↦ 𝐸) ∪ {⟨A, 𝐶⟩}) = (∅ ∪ {⟨A, 𝐶⟩})
5 uncom 3064 . . . . 5 (∅ ∪ {⟨A, 𝐶⟩}) = ({⟨A, 𝐶⟩} ∪ ∅)
6 un0 3228 . . . . 5 ({⟨A, 𝐶⟩} ∪ ∅) = {⟨A, 𝐶⟩}
74, 5, 63eqtri 2046 . . . 4 ((x ∅ ↦ 𝐸) ∪ {⟨A, 𝐶⟩}) = {⟨A, 𝐶⟩}
8 fmptpr.1 . . . . . 6 (φA 𝑉)
9 elex 2543 . . . . . 6 (A 𝑉A V)
108, 9syl 14 . . . . 5 (φA V)
11 fmptpr.3 . . . . . 6 (φ𝐶 𝑋)
12 elex 2543 . . . . . 6 (𝐶 𝑋𝐶 V)
1311, 12syl 14 . . . . 5 (φ𝐶 V)
14 uncom 3064 . . . . . . 7 ({A} ∪ ∅) = (∅ ∪ {A})
15 un0 3228 . . . . . . 7 ({A} ∪ ∅) = {A}
1614, 15eqtr3i 2044 . . . . . 6 (∅ ∪ {A}) = {A}
1716a1i 9 . . . . 5 (φ → (∅ ∪ {A}) = {A})
18 fmptpr.5 . . . . 5 ((φ x = A) → 𝐸 = 𝐶)
1910, 13, 17, 18fmptapd 5279 . . . 4 (φ → ((x ∅ ↦ 𝐸) ∪ {⟨A, 𝐶⟩}) = (x {A} ↦ 𝐸))
207, 19syl5eqr 2068 . . 3 (φ → {⟨A, 𝐶⟩} = (x {A} ↦ 𝐸))
2120uneq1d 3073 . 2 (φ → ({⟨A, 𝐶⟩} ∪ {⟨B, 𝐷⟩}) = ((x {A} ↦ 𝐸) ∪ {⟨B, 𝐷⟩}))
22 fmptpr.2 . . . 4 (φB 𝑊)
23 elex 2543 . . . 4 (B 𝑊B V)
2422, 23syl 14 . . 3 (φB V)
25 fmptpr.4 . . . 4 (φ𝐷 𝑌)
26 elex 2543 . . . 4 (𝐷 𝑌𝐷 V)
2725, 26syl 14 . . 3 (φ𝐷 V)
28 df-pr 3357 . . . . 5 {A, B} = ({A} ∪ {B})
2928eqcomi 2026 . . . 4 ({A} ∪ {B}) = {A, B}
3029a1i 9 . . 3 (φ → ({A} ∪ {B}) = {A, B})
31 fmptpr.6 . . 3 ((φ x = B) → 𝐸 = 𝐷)
3224, 27, 30, 31fmptapd 5279 . 2 (φ → ((x {A} ↦ 𝐸) ∪ {⟨B, 𝐷⟩}) = (x {A, B} ↦ 𝐸))
332, 21, 323eqtrd 2058 1 (φ → {⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩} = (x {A, B} ↦ 𝐸))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1228   ∈ wcel 1374  Vcvv 2535   ∪ cun 2892  ∅c0 3201  {csn 3350  {cpr 3351  ⟨cop 3353   ↦ cmpt 3792 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-nul 3857  ax-pow 3901  ax-pr 3918 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-reu 2291  df-v 2537  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-br 3739  df-opab 3793  df-mpt 3794  df-id 4004  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-rn 4283  df-fun 4831  df-fn 4832  df-f 4833  df-f1 4834  df-fo 4835  df-f1o 4836 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator