Theorem fmptapd 5354

Description: Append an additional value to a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptapd.0a	|- ( ph -> A e. _V )
fmptapd.0b	|- ( ph -> B e. _V )
fmptapd.1	|- ( ph -> ( R u. { A } ) = S )
fmptapd.2	|- ( ( ph /\ x = A ) -> C = B )

Assertion

Ref	Expression
fmptapd	|- ( ph -> ( ( x e. R |-> C ) u. { <. A , B >. } ) = ( x e. S |-> C ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, R   x, S   ph, x

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem fmptapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptapd.0a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
2		fmptapd.0b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. _V )
3		fmptsn 5352	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> B ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 391	. . . 4 |- ( ph -> { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> B ) )
5		elsni 3393	. . . . . 6 |- ( x e. { A } -> x = A )
6		fmptapd.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x = A ) -> C = B )
7	5, 6	sylan2 270	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. { A } ) -> C = B )
8	7	mpteq2dva 3847	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. { A } |-> C ) = ( x e. { A } |-> B ) )
9	4, 8	eqtr4d 2075	. . 3 |- ( ph -> { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> C ) )
10	9	uneq2d 3097	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. R |-> C ) u. { <. A , B >. } ) = ( ( x e. R |-> C ) u. ( x e. { A } |-> C ) ) )
11		mptun 5029	. . 3 |- ( x e. ( R u. { A } ) |-> C ) = ( ( x e. R |-> C ) u. ( x e. { A } |-> C ) )
12	11	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( R u. { A } ) |-> C ) = ( ( x e. R |-> C ) u. ( x e. { A } |-> C ) ) )
13		fmptapd.1	. . 3 |- ( ph -> ( R u. { A } ) = S )
14	13	mpteq1d 3842	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( R u. { A } ) |-> C ) = ( x e. S |-> C ) )
15	10, 12, 14	3eqtr2d 2078	1 |- ( ph -> ( ( x e. R |-> C ) u. { <. A , B >. } ) = ( x e. S |-> C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   u. cun 2915   {csn 3375   <.cop 3378   |-> cmpt 3818

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909

This theorem is referenced by:  fmptpr  5355