ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fcnvres Structured version   Unicode version

Theorem fcnvres 5016
Description: The converse of a restriction of a function. (Contributed by NM, 26-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
fcnvres  F : -->  `' F  |`  `' F  |`

Proof of Theorem fcnvres
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 4646 . 2  Rel  `' F  |`
2 relres 4582 . 2  Rel  `' F  |`
3 opelf 5005 . . . . . . 7  F : -->  <. ,  >.  F
43simpld 105 . . . . . 6  F : -->  <. ,  >.  F
54ex 108 . . . . 5  F : -->  <. , 
>.  F
65pm4.71d 373 . . . 4  F : -->  <. , 
>.  F  <. ,  >.  F
7 vex 2554 . . . . . 6 
_V
8 vex 2554 . . . . . 6 
_V
97, 8opelcnv 4460 . . . . 5  <. ,  >.  `' F  |` 
<. ,  >.  F  |`
107opelres 4560 . . . . 5  <. ,  >.  F  |`  <. , 
>.  F
119, 10bitri 173 . . . 4  <. ,  >.  `' F  |`  <. , 
>.  F
126, 11syl6bbr 187 . . 3  F : -->  <. , 
>.  F  <. ,  >.  `' F  |`
133simprd 107 . . . . . 6  F : -->  <. ,  >.  F
1413ex 108 . . . . 5  F : -->  <. , 
>.  F
1514pm4.71d 373 . . . 4  F : -->  <. , 
>.  F  <. ,  >.  F
168opelres 4560 . . . . 5  <. ,  >.  `' F  |`  <. ,  >.  `' F
177, 8opelcnv 4460 . . . . . 6  <. ,  >.  `' F 
<. ,  >.  F
1817anbi1i 431 . . . . 5 
<. ,  >.  `' F  <. ,  >.  F
1916, 18bitri 173 . . . 4  <. ,  >.  `' F  |`  <. , 
>.  F
2015, 19syl6bbr 187 . . 3  F : -->  <. , 
>.  F  <. ,  >.  `' F  |`
2112, 20bitr3d 179 . 2  F : -->  <. ,  >.  `' F  |`  <. ,  >.  `' F  |`
221, 2, 21eqrelrdv 4379 1  F : -->  `' F  |`  `' F  |`
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242   wcel 1390   <.cop 3370   `'ccnv 4287    |` cres 4290   -->wf 4841
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator