ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1orescnv Unicode version

Theorem f1orescnv 5085
Description: The converse of a one-to-one-onto restricted function. (Contributed by Paul Chapman, 21-Apr-2008.)
Assertion
Ref Expression
f1orescnv  Fun  `' F  F  |`  R : R -1-1-onto-> P  `' F  |`  P : P -1-1-onto-> R

Proof of Theorem f1orescnv
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5082 . . 3  F  |`  R : R -1-1-onto-> P  `' F  |`  R : P -1-1-onto-> R
21adantl 262 . 2  Fun  `' F  F  |`  R : R -1-1-onto-> P  `' F  |`  R : P -1-1-onto-> R
3 funcnvres 4915 . . . 4  Fun  `' F  `' F  |`  R  `' F  |`  F " R
4 df-ima 4301 . . . . . 6  F
" R 
ran  F  |`  R
5 dff1o5 5078 . . . . . . 7  F  |`  R : R -1-1-onto-> P  F  |`  R : R -1-1-> P  ran  F  |`  R  P
65simprbi 260 . . . . . 6  F  |`  R : R -1-1-onto-> P  ran  F  |`  R  P
74, 6syl5eq 2081 . . . . 5  F  |`  R : R -1-1-onto-> P  F
" R  P
87reseq2d 4555 . . . 4  F  |`  R : R -1-1-onto-> P  `' F  |`  F " R  `' F  |`  P
93, 8sylan9eq 2089 . . 3  Fun  `' F  F  |`  R : R -1-1-onto-> P  `' F  |`  R  `' F  |`  P
10 f1oeq1 5060 . . 3  `' F  |`  R  `' F  |`  P  `' F  |`  R : P -1-1-onto-> R  `' F  |`  P : P -1-1-onto-> R
119, 10syl 14 . 2  Fun  `' F  F  |`  R : R -1-1-onto-> P  `' F  |`  R : P -1-1-onto-> R  `' F  |`  P : P -1-1-onto-> R
122, 11mpbid 135 1  Fun  `' F  F  |`  R : R -1-1-onto-> P  `' F  |`  P : P -1-1-onto-> R
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242   `'ccnv 4287   ran crn 4289    |` cres 4290   "cima 4291   Fun wfun 4839   -1-1->wf1 4842   -1-1-onto->wf1o 4844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852
This theorem is referenced by:  f1oresrab  5272
  Copyright terms: Public domain W3C validator