Theorem dmfco 5241

Description: Domains of a function composition. (Contributed by NM, 27-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
dmfco	|- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> ( G ` A ) e. dom F ) )

Proof of Theorem dmfco

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvex 5192	. . . . 5 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( G ` A ) e. _V )
2		opeq1 3549	. . . . . . 7 |- ( x = ( G ` A ) -> <. x , y >. = <. ( G ` A ) , y >. )
3	2	eleq1d 2106	. . . . . 6 |- ( x = ( G ` A ) -> ( <. x , y >. e. F <-> <. ( G ` A ) , y >. e. F ) )
4	3	ceqsexgv 2673	. . . . 5 |- ( ( G ` A ) e. _V -> ( E. x ( x = ( G ` A ) /\ <. x , y >. e. F ) <-> <. ( G ` A ) , y >. e. F ) )
5	1, 4	syl 14	. . . 4 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( E. x ( x = ( G ` A ) /\ <. x , y >. e. F ) <-> <. ( G ` A ) , y >. e. F ) )
6		eqcom 2042	. . . . . . 7 |- ( x = ( G ` A ) <-> ( G ` A ) = x )
7		funopfvb 5217	. . . . . . 7 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( ( G ` A ) = x <-> <. A , x >. e. G ) )
8	6, 7	syl5bb 181	. . . . . 6 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( x = ( G ` A ) <-> <. A , x >. e. G ) )
9	8	anbi1d 438	. . . . 5 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( ( x = ( G ` A ) /\ <. x , y >. e. F ) <-> ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
10	9	exbidv 1706	. . . 4 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( E. x ( x = ( G ` A ) /\ <. x , y >. e. F ) <-> E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
11	5, 10	bitr3d 179	. . 3 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( <. ( G ` A ) , y >. e. F <-> E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
12	11	exbidv 1706	. 2 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( E. y <. ( G ` A ) , y >. e. F <-> E. y E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
13		eldm2g 4531	. . 3 |- ( ( G ` A ) e. _V -> ( ( G ` A ) e. dom F <-> E. y <. ( G ` A ) , y >. e. F ) )
14	1, 13	syl 14	. 2 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( ( G ` A ) e. dom F <-> E. y <. ( G ` A ) , y >. e. F ) )
15		eldm2g 4531	. . . 4 |- ( A e. dom G -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> E. y <. A , y >. e. ( F o. G ) ) )
16		vex 2560	. . . . . 6 |- y e. _V
17		opelco2g 4503	. . . . . 6 |- ( ( A e. dom G /\ y e. _V ) -> ( <. A , y >. e. ( F o. G ) <-> E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
18	16, 17	mpan2 401	. . . . 5 |- ( A e. dom G -> ( <. A , y >. e. ( F o. G ) <-> E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
19	18	exbidv 1706	. . . 4 |- ( A e. dom G -> ( E. y <. A , y >. e. ( F o. G ) <-> E. y E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
20	15, 19	bitrd 177	. . 3 |- ( A e. dom G -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> E. y E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
21	20	adantl 262	. 2 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> E. y E. x ( <. A , x >. e. G /\ <. x , y >. e. F ) ) )
22	12, 14, 21	3bitr4rd 210	1 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( A e. dom ( F o. G ) <-> ( G ` A ) e. dom F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   <.cop 3378   dom cdm 4345   o. ccom 4349   Fun wfun 4896   ` cfv 4902

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-fv 4910

This theorem is referenced by: (None)