ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmfco Structured version   Unicode version

Theorem dmfco 5184
Description: Domains of a function composition. (Contributed by NM, 27-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
dmfco  Fun  G  dom  G  dom  F  o.  G  G `  dom  F

Proof of Theorem dmfco
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funfvex 5135 . . . . 5  Fun  G  dom  G  G `  _V
2 opeq1 3540 . . . . . . 7  G `  <. ,  >.  <. G `  ,  >.
32eleq1d 2103 . . . . . 6  G `  <. ,  >.  F  <. G `  ,  >.  F
43ceqsexgv 2667 . . . . 5  G `  _V  G `  <. , 
>.  F  <. G `  ,  >.  F
51, 4syl 14 . . . 4  Fun  G  dom  G  G `  <. ,  >.  F 
<. G `  ,  >.  F
6 eqcom 2039 . . . . . . 7  G `  G `
7 funopfvb 5160 . . . . . . 7  Fun  G  dom  G  G `  <. ,  >.  G
86, 7syl5bb 181 . . . . . 6  Fun  G  dom  G  G `  <. ,  >.  G
98anbi1d 438 . . . . 5  Fun  G  dom  G  G `  <. , 
>.  F  <. ,  >.  G  <. , 
>.  F
109exbidv 1703 . . . 4  Fun  G  dom  G  G `  <. ,  >.  F  <. ,  >.  G  <. , 
>.  F
115, 10bitr3d 179 . . 3  Fun  G  dom  G  <. G `  ,  >.  F 
<. ,  >.  G  <. ,  >.  F
1211exbidv 1703 . 2  Fun  G  dom  G  <. G `  ,  >.  F 
<. ,  >.  G  <. ,  >.  F
13 eldm2g 4474 . . 3  G `  _V  G `  dom  F  <. G `  ,  >.  F
141, 13syl 14 . 2  Fun  G  dom  G  G `  dom  F  <. G `  ,  >.  F
15 eldm2g 4474 . . . 4  dom  G  dom  F  o.  G  <. ,  >.  F  o.  G
16 vex 2554 . . . . . 6 
_V
17 opelco2g 4446 . . . . . 6  dom  G  _V  <. ,  >.  F  o.  G  <. ,  >.  G  <. ,  >.  F
1816, 17mpan2 401 . . . . 5  dom  G  <. , 
>.  F  o.  G  <. ,  >.  G  <. ,  >.  F
1918exbidv 1703 . . . 4  dom  G  <. ,  >.  F  o.  G  <. ,  >.  G  <. ,  >.  F
2015, 19bitrd 177 . . 3  dom  G  dom  F  o.  G  <. ,  >.  G  <. ,  >.  F
2120adantl 262 . 2  Fun  G  dom  G  dom  F  o.  G  <. ,  >.  G  <. ,  >.  F
2212, 14, 213bitr4rd 210 1  Fun  G  dom  G  dom  F  o.  G  G `  dom  F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551   <.cop 3370   dom cdm 4288    o. ccom 4292   Fun wfun 4839   ` cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator