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Theorem dmfco 5184
Description: Domains of a function composition. (Contributed by NM, 27-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
dmfco ((Fun 𝐺 A dom 𝐺) → (A dom (𝐹𝐺) ↔ (𝐺A) dom 𝐹))

Proof of Theorem dmfco
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funfvex 5135 . . . . 5 ((Fun 𝐺 A dom 𝐺) → (𝐺A) V)
2 opeq1 3540 . . . . . . 7 (x = (𝐺A) → ⟨x, y⟩ = ⟨(𝐺A), y⟩)
32eleq1d 2103 . . . . . 6 (x = (𝐺A) → (⟨x, y 𝐹 ↔ ⟨(𝐺A), y 𝐹))
43ceqsexgv 2667 . . . . 5 ((𝐺A) V → (x(x = (𝐺A) x, y 𝐹) ↔ ⟨(𝐺A), y 𝐹))
51, 4syl 14 . . . 4 ((Fun 𝐺 A dom 𝐺) → (x(x = (𝐺A) x, y 𝐹) ↔ ⟨(𝐺A), y 𝐹))
6 eqcom 2039 . . . . . . 7 (x = (𝐺A) ↔ (𝐺A) = x)
7 funopfvb 5160 . . . . . . 7 ((Fun 𝐺 A dom 𝐺) → ((𝐺A) = x ↔ ⟨A, x 𝐺))
86, 7syl5bb 181 . . . . . 6 ((Fun 𝐺 A dom 𝐺) → (x = (𝐺A) ↔ ⟨A, x 𝐺))
98anbi1d 438 . . . . 5 ((Fun 𝐺 A dom 𝐺) → ((x = (𝐺A) x, y 𝐹) ↔ (⟨A, x 𝐺 x, y 𝐹)))
109exbidv 1703 . . . 4 ((Fun 𝐺 A dom 𝐺) → (x(x = (𝐺A) x, y 𝐹) ↔ x(⟨A, x 𝐺 x, y 𝐹)))
115, 10bitr3d 179 . . 3 ((Fun 𝐺 A dom 𝐺) → (⟨(𝐺A), y 𝐹x(⟨A, x 𝐺 x, y 𝐹)))
1211exbidv 1703 . 2 ((Fun 𝐺 A dom 𝐺) → (y⟨(𝐺A), y 𝐹yx(⟨A, x 𝐺 x, y 𝐹)))
13 eldm2g 4474 . . 3 ((𝐺A) V → ((𝐺A) dom 𝐹y⟨(𝐺A), y 𝐹))
141, 13syl 14 . 2 ((Fun 𝐺 A dom 𝐺) → ((𝐺A) dom 𝐹y⟨(𝐺A), y 𝐹))
15 eldm2g 4474 . . . 4 (A dom 𝐺 → (A dom (𝐹𝐺) ↔ yA, y (𝐹𝐺)))
16 vex 2554 . . . . . 6 y V
17 opelco2g 4446 . . . . . 6 ((A dom 𝐺 y V) → (⟨A, y (𝐹𝐺) ↔ x(⟨A, x 𝐺 x, y 𝐹)))
1816, 17mpan2 401 . . . . 5 (A dom 𝐺 → (⟨A, y (𝐹𝐺) ↔ x(⟨A, x 𝐺 x, y 𝐹)))
1918exbidv 1703 . . . 4 (A dom 𝐺 → (yA, y (𝐹𝐺) ↔ yx(⟨A, x 𝐺 x, y 𝐹)))
2015, 19bitrd 177 . . 3 (A dom 𝐺 → (A dom (𝐹𝐺) ↔ yx(⟨A, x 𝐺 x, y 𝐹)))
2120adantl 262 . 2 ((Fun 𝐺 A dom 𝐺) → (A dom (𝐹𝐺) ↔ yx(⟨A, x 𝐺 x, y 𝐹)))
2212, 14, 213bitr4rd 210 1 ((Fun 𝐺 A dom 𝐺) → (A dom (𝐹𝐺) ↔ (𝐺A) dom 𝐹))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  Vcvv 2551  cop 3370  dom cdm 4288  ccom 4292  Fun wfun 4839  cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853
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