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Theorem dmfco 5166
Description: Domains of a function composition. (Contributed by NM, 27-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
dmfco ((Fun 𝐺 A dom 𝐺) → (A dom (𝐹𝐺) ↔ (𝐺A) dom 𝐹))

Proof of Theorem dmfco
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funfvex 5117 . . . . 5 ((Fun 𝐺 A dom 𝐺) → (𝐺A) V)
2 opeq1 3523 . . . . . . 7 (x = (𝐺A) → ⟨x, y⟩ = ⟨(𝐺A), y⟩)
32eleq1d 2088 . . . . . 6 (x = (𝐺A) → (⟨x, y 𝐹 ↔ ⟨(𝐺A), y 𝐹))
43ceqsexgv 2650 . . . . 5 ((𝐺A) V → (x(x = (𝐺A) x, y 𝐹) ↔ ⟨(𝐺A), y 𝐹))
51, 4syl 14 . . . 4 ((Fun 𝐺 A dom 𝐺) → (x(x = (𝐺A) x, y 𝐹) ↔ ⟨(𝐺A), y 𝐹))
6 eqcom 2024 . . . . . . 7 (x = (𝐺A) ↔ (𝐺A) = x)
7 funopfvb 5142 . . . . . . 7 ((Fun 𝐺 A dom 𝐺) → ((𝐺A) = x ↔ ⟨A, x 𝐺))
86, 7syl5bb 181 . . . . . 6 ((Fun 𝐺 A dom 𝐺) → (x = (𝐺A) ↔ ⟨A, x 𝐺))
98anbi1d 441 . . . . 5 ((Fun 𝐺 A dom 𝐺) → ((x = (𝐺A) x, y 𝐹) ↔ (⟨A, x 𝐺 x, y 𝐹)))
109exbidv 1688 . . . 4 ((Fun 𝐺 A dom 𝐺) → (x(x = (𝐺A) x, y 𝐹) ↔ x(⟨A, x 𝐺 x, y 𝐹)))
115, 10bitr3d 179 . . 3 ((Fun 𝐺 A dom 𝐺) → (⟨(𝐺A), y 𝐹x(⟨A, x 𝐺 x, y 𝐹)))
1211exbidv 1688 . 2 ((Fun 𝐺 A dom 𝐺) → (y⟨(𝐺A), y 𝐹yx(⟨A, x 𝐺 x, y 𝐹)))
13 eldm2g 4458 . . 3 ((𝐺A) V → ((𝐺A) dom 𝐹y⟨(𝐺A), y 𝐹))
141, 13syl 14 . 2 ((Fun 𝐺 A dom 𝐺) → ((𝐺A) dom 𝐹y⟨(𝐺A), y 𝐹))
15 eldm2g 4458 . . . 4 (A dom 𝐺 → (A dom (𝐹𝐺) ↔ yA, y (𝐹𝐺)))
16 vex 2538 . . . . . 6 y V
17 opelco2g 4430 . . . . . 6 ((A dom 𝐺 y V) → (⟨A, y (𝐹𝐺) ↔ x(⟨A, x 𝐺 x, y 𝐹)))
1816, 17mpan2 403 . . . . 5 (A dom 𝐺 → (⟨A, y (𝐹𝐺) ↔ x(⟨A, x 𝐺 x, y 𝐹)))
1918exbidv 1688 . . . 4 (A dom 𝐺 → (yA, y (𝐹𝐺) ↔ yx(⟨A, x 𝐺 x, y 𝐹)))
2015, 19bitrd 177 . . 3 (A dom 𝐺 → (A dom (𝐹𝐺) ↔ yx(⟨A, x 𝐺 x, y 𝐹)))
2120adantl 262 . 2 ((Fun 𝐺 A dom 𝐺) → (A dom (𝐹𝐺) ↔ yx(⟨A, x 𝐺 x, y 𝐹)))
2212, 14, 213bitr4rd 210 1 ((Fun 𝐺 A dom 𝐺) → (A dom (𝐹𝐺) ↔ (𝐺A) dom 𝐹))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1228  wex 1362   wcel 1374  Vcvv 2535  cop 3353  dom cdm 4272  ccom 4276  Fun wfun 4823  cfv 4829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-sbc 2742  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-br 3739  df-opab 3793  df-id 4004  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-fv 4837
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