Theorem cocnvcnv2 4775

Description: A composition is not affected by a double converse of its second argument. (Contributed by NM, 8-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cocnvcnv2	|- (A o. `' `'B) = (A o. B)

Proof of Theorem cocnvcnv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvcnv2 4717	. . 3 |- `' `'B = (B |` _V)
2	1	coeq2i 4439	. 2 |- (A o. `' `'B) = (A o. (B |` _V))
3		resco 4768	. 2 |- ((A o. B) |` _V) = (A o. (B |` _V))
4		relco 4762	. . 3 |- Rel (A o. B)
5		dfrel3 4721	. . 3 |- ( Rel (A o. B) <-> ((A o. B) |` _V) = (A o. B))
6	4, 5	mpbi 133	. 2 |- ((A o. B) |` _V) = (A o. B)
7	2, 3, 6	3eqtr2i 2063	1 |- (A o. `' `'B) = (A o. B)

Syntax hints:   = wceq 1242   _Vcvv 2551   `'ccnv 4287   |` cres 4290   o. ccom 4292   Rel wrel 4293

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-res 4300

This theorem is referenced by:  dfdm2  4795  cofunex2g  5681