Theorem co02 4777

Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
co02	|- (A o. (/)) = (/)

Proof of Theorem co02

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 4762	. 2 |- Rel (A o. (/))
2		rel0 4405	. 2 |- Rel (/)
3		noel 3222	. . . . . . 7 |- -. <.x , z >. e. (/)
4		df-br 3756	. . . . . . 7 |- (x (/)z <-> <.x , z >. e. (/))
5	3, 4	mtbir 595	. . . . . 6 |- -. x (/)z
6	5	intnanr 838	. . . . 5 |- -. (x (/)z /\ zAy)
7	6	nex 1386	. . . 4 |- -. E.z(x (/)z /\ zAy)
8		vex 2554	. . . . 5 |- x e. _V
9		vex 2554	. . . . 5 |- y e. _V
10	8, 9	opelco 4450	. . . 4 |- ( <.x , y >. e. (A o. (/)) <-> E.z(x (/)z /\ zAy))
11	7, 10	mtbir 595	. . 3 |- -. <.x , y >. e. (A o. (/))
12		noel 3222	. . 3 |- -. <.x , y >. e. (/)
13	11, 12	2false 616	. 2 |- ( <.x , y >. e. (A o. (/)) <-> <.x , y >. e. (/))
14	1, 2, 13	eqrelriiv 4377	1 |- (A o. (/)) = (/)

Syntax hints:   /\ wa 97   = wceq 1242  E.wex 1378   e. wcel 1390   (/)c0 3218   <.cop 3370   class class class wbr 3755   o. ccom 4292

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-co 4297

This theorem is referenced by:  co01  4778