Theorem co02 4834

Description: Composition with the empty set. Theorem 20 of [Suppes] p. 63. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
co02	|- ( A o. (/) ) = (/)

Proof of Theorem co02

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 4819	. 2 |- Rel ( A o. (/) )
2		rel0 4462	. 2 |- Rel (/)
3		noel 3228	. . . . . . 7 |- -. <. x , z >. e. (/)
4		df-br 3765	. . . . . . 7 |- ( x (/) z <-> <. x , z >. e. (/) )
5	3, 4	mtbir 596	. . . . . 6 |- -. x (/) z
6	5	intnanr 839	. . . . 5 |- -. ( x (/) z /\ z A y )
7	6	nex 1389	. . . 4 |- -. E. z ( x (/) z /\ z A y )
8		vex 2560	. . . . 5 |- x e. _V
9		vex 2560	. . . . 5 |- y e. _V
10	8, 9	opelco 4507	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> E. z ( x (/) z /\ z A y ) )
11	7, 10	mtbir 596	. . 3 |- -. <. x , y >. e. ( A o. (/) )
12		noel 3228	. . 3 |- -. <. x , y >. e. (/)
13	11, 12	2false 617	. 2 |- ( <. x , y >. e. ( A o. (/) ) <-> <. x , y >. e. (/) )
14	1, 2, 13	eqrelriiv 4434	1 |- ( A o. (/) ) = (/)

Syntax hints:   /\ wa 97   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   (/)c0 3224   <.cop 3378   class class class wbr 3764   o. ccom 4349

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-rel 4352  df-co 4354

This theorem is referenced by:  co01  4835