ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnviinm Structured version   Unicode version

Theorem cnviinm 4802
Description: The converse of an intersection is the intersection of the converse. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
cnviinm  `' |^|_  |^|_  `'
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem cnviinm
Dummy variables  a  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2097 . . 3  a  a
21cbvexv 1792 . 2  a  a
3 eleq1 2097 . . . 4  a  a
43cbvexv 1792 . . 3  a  a
5 relcnv 4646 . . . 4  Rel  `' |^|_
6 r19.2m 3303 . . . . . . . 8  `'  C_  _V  X.  _V  `'  C_  _V  X.  _V
76expcom 109 . . . . . . 7  `'  C_  _V  X.  _V  `'  C_  _V  X.  _V
8 relcnv 4646 . . . . . . . . 9  Rel  `'
9 df-rel 4295 . . . . . . . . 9  Rel  `'  `'  C_  _V  X.  _V
108, 9mpbi 133 . . . . . . . 8  `'  C_  _V  X.  _V
1110a1i 9 . . . . . . 7  `'  C_  _V  X.  _V
127, 11mprg 2372 . . . . . 6  `'  C_  _V 
X.  _V
13 iinss 3699 . . . . . 6  `'  C_  _V  X.  _V  |^|_  `'  C_  _V  X.  _V
1412, 13syl 14 . . . . 5  |^|_  `'  C_  _V 
X.  _V
15 df-rel 4295 . . . . 5  Rel  |^|_  `' 
|^|_  `'  C_  _V 
X.  _V
1614, 15sylibr 137 . . . 4  Rel  |^|_  `'
17 vex 2554 . . . . . . . 8  b 
_V
18 vex 2554 . . . . . . . 8  a 
_V
1917, 18opex 3957 . . . . . . 7  <. b ,  a >.  _V
20 eliin 3653 . . . . . . 7  <. b ,  a >.  _V  <. b ,  a
>.  |^|_  <. b ,  a >.
2119, 20ax-mp 7 . . . . . 6  <. b ,  a >.  |^|_  <. b ,  a
>.
2218, 17opelcnv 4460 . . . . . 6  <. a ,  b >.  `' |^|_  <. b ,  a >.  |^|_
2318, 17opex 3957 . . . . . . . 8  <. a ,  b >.  _V
24 eliin 3653 . . . . . . . 8  <. a ,  b >.  _V  <. a ,  b
>.  |^|_  `'  <. a ,  b
>.  `'
2523, 24ax-mp 7 . . . . . . 7  <. a ,  b >.  |^|_  `'  <. a ,  b >.  `'
2618, 17opelcnv 4460 . . . . . . . 8  <. a ,  b >.  `' 
<. b ,  a >.
2726ralbii 2324 . . . . . . 7  <. a ,  b >.  `'  <. b ,  a >.
2825, 27bitri 173 . . . . . 6  <. a ,  b >.  |^|_  `'  <. b ,  a >.
2921, 22, 283bitr4i 201 . . . . 5  <. a ,  b >.  `' |^|_  <. a ,  b >.  |^|_  `'
3029eqrelriv 4376 . . . 4  Rel  `' |^|_  Rel  |^|_  `'  `' |^|_  |^|_  `'
315, 16, 30sylancr 393 . . 3  `' |^|_  |^|_  `'
324, 31sylbir 125 . 2  a  a  `' |^|_  |^|_  `'
332, 32sylbi 114 1  `' |^|_  |^|_  `'
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wb 98   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wral 2300  wrex 2301   _Vcvv 2551    C_ wss 2911   <.cop 3370   |^|_ciin 3649    X. cxp 4286   `'ccnv 4287   Rel wrel 4293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-iin 3651  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator