Theorem elfznn 12241

Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfznn	⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Proof of Theorem elfznn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 12213	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		elfzle1 12215	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝐾)
3		elnnz1 11280	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐾))
4	1, 2, 3	sylanbrc 695	1 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  1c1 9816   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  ℤcz 11254  ...cfz 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198

This theorem is referenced by:  elfz1end  12242  fz1ssnn  12243  fzossnn  12384  bcm1k  12964  bcpasc  12970  seqcoll  13105  swrd0fv0  13292  swrd0fvlsw  13295  isercolllem2  14244  isercolllem3  14245  isercoll  14246  sumeq2ii  14271  summolem3  14292  summolem2a  14293  fsum  14298  sumz  14300  fsumconst  14364  o1fsum  14386  binomlem  14400  incexc2  14409  climcndslem1  14420  climcndslem2  14421  climcnds  14422  harmonic  14430  arisum2  14432  trireciplem  14433  geo2sum  14443  geo2lim  14445  prodeq2ii  14482  prodmolem3  14502  prodmolem2a  14503  fprod  14510  prod1  14513  fprodfac  14542  fprodconst  14547  risefallfac  14594  risefacfac  14605  fallfacval4  14613  bpolydiflem  14624  rpnnen2lem10  14791  fzm1ndvds  14882  pwp1fsum  14952  lcmflefac  15199  phicl  15312  prmdivdiv  15330  pcfac  15441  pcbc  15442  prmreclem2  15459  prmreclem3  15460  prmreclem4  15461  prmreclem5  15462  prmreclem6  15463  prmrec  15464  4sqlem13  15499  vdwlem2  15524  vdwlem3  15525  vdwlem10  15532  vdwlem12  15534  prmocl  15576  prmop1  15580  fvprmselelfz  15586  fvprmselgcd1  15587  prmolefac  15588  prmodvdslcmf  15589  prmgapprmo  15604  mulgnnsubcl  17376  mulgnn0z  17390  mulgnndir  17392  mulgnndirOLD  17393  oddvdsnn0  17786  odnncl  17787  gexcl3  17825  efgsres  17974  mulgnn0di  18054  gsumconst  18157  srgbinomlem4  18366  chfacfscmulgsum  20484  chfacfpmmulgsum  20488  chfacfpmmulgsum2  20489  cayhamlem1  20490  cpmadugsumlemF  20500  1stcfb  21058  1stckgenlem  21166  lebnumii  22573  ovollb2lem  23063  ovolunlem1a  23071  ovoliunlem1  23077  ovoliunlem2  23078  ovoliun2  23081  ovolscalem1  23088  ovolicc2lem4  23095  voliunlem1  23125  volsup  23131  ioombl1lem4  23136  uniioovol  23153  uniioombllem3a  23158  uniioombllem3  23159  uniioombllem4  23160  uniioombllem5  23161  uniioombllem6  23162  dvply1  23843  aaliou3lem5  23906  aaliou3lem6  23907  dvtaylp  23928  taylthlem2  23932  pserdvlem2  23986  logfac  24151  atantayl  24464  birthdaylem2  24479  emcllem1  24522  emcllem2  24523  emcllem3  24524  emcllem5  24526  emcllem7  24528  harmoniclbnd  24535  harmonicubnd  24536  harmonicbnd4  24537  fsumharmonic  24538  lgamcvg2  24581  gamcvg2lem  24585  wilthlem1  24594  wilthlem2  24595  ftalem5  24603  basellem1  24607  basellem8  24614  chpf  24649  efchpcl  24651  chpp1  24681  chpwordi  24683  prmorcht  24704  dvdsflf1o  24713  dvdsflsumcom  24714  chtlepsi  24731  fsumvma2  24739  pclogsum  24740  vmasum  24741  logfac2  24742  chpval2  24743  chpchtsum  24744  logfaclbnd  24747  logexprlim  24750  logfacrlim2  24751  pcbcctr  24801  bposlem1  24809  bposlem2  24810  lgscllem  24829  lgsval2lem  24832  lgsval4a  24844  lgsneg  24846  lgsdir  24857  lgsdilem2  24858  lgsdi  24859  lgsne0  24860  lgsqrlem2  24872  lgseisenlem1  24900  lgseisenlem2  24901  lgseisenlem3  24902  lgseisenlem4  24903  lgseisen  24904  lgsquadlem1  24905  lgsquadlem2  24906  lgsquadlem3  24907  2lgslem1a1  24914  chebbnd1lem1  24958  vmadivsum  24971  vmadivsumb  24972  rplogsumlem2  24974  dchrisum0lem1a  24975  rpvmasumlem  24976  dchrisumlem2  24979  dchrmusum2  24983  dchrvmasumlem1  24984  dchrvmasum2lem  24985  dchrvmasum2if  24986  dchrvmasumlem2  24987  dchrvmasumlem3  24988  dchrvmasumiflem1  24990  dchrvmasumiflem2  24991  dchrisum0fno1  25000  rpvmasum2  25001  dchrisum0re  25002  dchrisum0lem1b  25004  dchrisum0lem1  25005  dchrisum0lem2a  25006  dchrisum0lem2  25007  dchrisum0lem3  25008  dchrisum0  25009  dchrmusumlem  25011  dchrvmasumlem  25012  rplogsum  25016  mudivsum  25019  mulogsumlem  25020  mulogsum  25021  mulog2sumlem1  25023  mulog2sumlem2  25024  mulog2sumlem3  25025  vmalogdivsum2  25027  vmalogdivsum  25028  2vmadivsumlem  25029  log2sumbnd  25033  selberglem1  25034  selberglem2  25035  selberglem3  25036  selberg  25037  selbergb  25038  selberg2lem  25039  selberg2  25040  selberg2b  25041  chpdifbndlem1  25042  logdivbnd  25045  selberg3lem1  25046  selberg3lem2  25047  selberg3  25048  selberg4lem1  25049  selberg4  25050  pntrsumo1  25054  pntrsumbnd  25055  pntrsumbnd2  25056  selbergr  25057  selberg3r  25058  selberg4r  25059  selberg34r  25060  pntsf  25062  pntsval2  25065  pntrlog2bndlem1  25066  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem3  25068  pntrlog2bndlem4  25069  pntrlog2bndlem5  25070  pntrlog2bndlem6  25072  pntrlog2bnd  25073  pntpbnd2  25076  pntlemf  25094  pntlemk  25095  pntlemo  25096  eupares  26502  eupap1  26503  dipcl  26951  dipcn  26959  esumpcvgval  29467  esumpmono  29468  esumcvg  29475  esumcvgsum  29477  eulerpartlemgc  29751  ballotlemfc0  29881  ballotlemfcc  29882  ballotlemimin  29894  ballotlemic  29895  ballotlem1c  29896  ballotlemsel1i  29901  ballotlemsf1o  29902  erdszelem4  30430  erdszelem8  30434  erdsze2lem2  30440  cvmliftlem2  30522  cvmliftlem6  30526  cvmliftlem8  30528  cvmliftlem9  30529  cvmliftlem10  30530  bcprod  30877  faclim  30885  poimirlem6  32585  poimirlem7  32586  poimirlem8  32587  poimirlem9  32588  poimirlem11  32590  poimirlem13  32592  poimirlem14  32593  poimirlem15  32594  poimirlem16  32595  poimirlem17  32596  poimirlem18  32597  poimirlem22  32601  poimirlem32  32611  mblfinlem2  32617  eldioph3b  36346  diophin  36354  diophun  36355  eldiophss  36356  irrapxlem4  36407  sumnnodd  38697  stoweidlem34  38927  wallispilem4  38961  wallispi  38963  wallispi2lem1  38964  wallispi2  38966  stirlinglem5  38971  stirlinglem7  38973  stirlinglem10  38976  stirlinglem12  38978  fourierdlem83  39082  fourierdlem112  39111  caratheodorylem2  39417  hoidmvlelem2  39486  hoidmvlelem3  39487  pwdif  40039  pfxfv0  40263  pfxfvlsw  40266  eucrct2eupth  41413  altgsumbcALT  41924  nn0sumshdiglemA  42211  nn0sumshdiglemB  42212