Theorem dchrisum0re 25002

Description: Suppose 𝑋 is a non-principal Dirichlet character with Σ𝑛 ∈ ℕ, 𝑋(𝑛) / 𝑛 = 0. Then 𝑋 is a real character. Part of Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
rpvmasum2.w	⊢ 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}
dchrisum0.b	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0re	⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑚, 1   𝑚,𝑁,𝑦   𝜑,𝑚   𝑚,𝑍,𝑦   𝐷,𝑚,𝑦   𝑚,𝐿,𝑦   𝑚,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐺(𝑦,𝑚)   𝑊(𝑦,𝑚)

Proof of Theorem dchrisum0re

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 𝑓 𝑐 𝑡 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		rpvmasum.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		rpvmasum2.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
5		rpvmasum2.w	. . . . . . 7 ⊢ 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0}
6		ssrab2 3650	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0} ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
7	5, 6	eqsstri 3598	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
8		dchrisum0.b	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑊)
9	7, 8	sseldi 3566	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
10	9	eldifad 3552	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
11	1, 2, 3, 4, 10	dchrf 24767	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
12	11	ffnd 5959	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn (Base‘𝑍))
13	11	ffvelrnda 6267	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℂ)
14		fvco3 6185	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋‘𝑥)))
15	11, 14	sylan 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (∗‘(𝑋‘𝑥)))
16		logno1 24182	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)
17		1red 9934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) → 1 ∈ ℝ)
18		rpvmasum.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
19		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
20		rpvmasum2.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
21		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Unit‘𝑍) = (Unit‘𝑍)
22	19	nnnn0d 11228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
23	2	zncrng 19712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑍 ∈ CRing)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ CRing)
25		crngring 18381	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑍 ∈ CRing → 𝑍 ∈ Ring)
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ Ring)
27		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍)
28	21, 27	1unit 18481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑍 ∈ Ring → (1r‘𝑍) ∈ (Unit‘𝑍))
29	26, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑍) ∈ (Unit‘𝑍))
30		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}) = (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)})
31		eqidd 2611	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑊) → (1r‘𝑍) = (1r‘𝑍))
32	2, 18, 19, 1, 3, 20, 5, 21, 29, 30, 31	rpvmasum2 25001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))))) ∈ 𝑂(1))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))))) ∈ 𝑂(1))
34	19	phicld 15315	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
35	34	nnnn0d 11228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
36	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
37	36	nn0red 11229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
38		fzfid 12634	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
39		inss1 3795	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)})) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))
40		ssfi 8065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)})) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)})) ∈ Fin)
41	38, 39, 40	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)})) ∈ Fin)
42		elinel1 3761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)})) → 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
43		elfznn 12241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
44	43	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
45	42, 44	sylan2 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))) → 𝑛 ∈ ℕ)
46		vmacl 24644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
47		nndivre 10933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((Λ‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
48	46, 47	mpancom 700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
49	45, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
50	41, 49	fsumrecl 14312	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
51	37, 50	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
52		relogcl 24126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
54		1re 9918	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ ℝ
55	1, 3	dchrfi 24780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ Fin)
56	19, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Fin)
57		difss 3699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ 𝐷
58	7, 57	sstri 3577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝑊 ⊆ 𝐷
59		ssfi 8065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑊 ⊆ 𝐷) → 𝑊 ∈ Fin)
60	56, 58, 59	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Fin)
61		hashcl 13009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
63	62	nn0red 11229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
64		resubcl 10224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) → (1 − (#‘𝑊)) ∈ ℝ)
65	54, 63, 64	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (1 − (#‘𝑊)) ∈ ℝ)
66	65	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 − (#‘𝑊)) ∈ ℝ)
67	53, 66	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))) ∈ ℝ)
68	51, 67	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) ∈ ℝ)
69	68	recnd 9947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) ∈ ℂ)
70	69	adantlr 747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) ∈ ℂ)
71	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
72	71	recnd 9947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
73	52	ad2antrl 760	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
74	67	ad2ant2r 779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))) ∈ ℝ)
75	73, 74	readdcld 9948	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) ∈ ℝ)
76		0red 9920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ∈ ℝ)
77	51	ad2ant2r 779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
78		2re 10967	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℝ
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 2 ∈ ℝ)
80	63	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
81	79, 80	resubcld 10337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (2 − (#‘𝑊)) ∈ ℝ)
82		log1 24136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (log‘1) = 0
83		simprr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ≤ 𝑥)
84		1rp 11712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℝ+
85		simprl 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
86		logleb 24153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑥)))
87	84, 85, 86	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 ≤ 𝑥 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑥)))
88	83, 87	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘1) ≤ (log‘𝑥))
89	82, 88	syl5eqbrr 4619	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (log‘𝑥))
90		simplr 788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋)
91		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
92	1, 3, 10, 91	dchrinv 24786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘𝑋) = (∗ ∘ 𝑋))
93	1	dchrabl 24779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
94	19, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
95		ablgrp 18021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
97	3, 91	grpinvcl 17290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐷)
98	96, 10, 97	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ∈ 𝐷)
99	92, 98	eqeltrrd 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷)
100		eldifsni 4261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) → 𝑋 ≠ 1 )
101	9, 100	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1 )
102	3, 20	grpidcl 17273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 1 ∈ 𝐷)
103	96, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐷)
104	3, 91, 96, 10, 103	grpinv11 17307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐺)‘𝑋) = ((invg‘𝐺)‘ 1 ) ↔ 𝑋 = 1 ))
105	104	necon3bid 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝐺)‘𝑋) ≠ ((invg‘𝐺)‘ 1 ) ↔ 𝑋 ≠ 1 ))
106	101, 105	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘𝑋) ≠ ((invg‘𝐺)‘ 1 ))
107	20, 91	grpinvid 17299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 1 ) = 1 )
108	96, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘ 1 ) = 1 )
109	106, 92, 108	3netr3d 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ≠ 1 )
110		eldifsn 4260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((∗ ∘ 𝑋) ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ↔ ((∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 1 ))
111	99, 109, 110	sylanbrc 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ∈ (𝐷 ∖ { 1 }))
112		nnuz 11599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
113		1zzd 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
114		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐿‘𝑛) = (𝐿‘𝑚))
115	114	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑋‘(𝐿‘𝑛)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑚)))
116		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → 𝑛 = 𝑚)
117	115, 116	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))
118	117	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛)) = (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))
119		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛)))
120		fvex 6113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) ∈ V
121	118, 119, 120	fvmpt 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛)))‘𝑚) = (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))
122	121	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛)))‘𝑚) = (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))
123		nnre 10904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
124	123	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
125	124	cjred 13814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘𝑚) = 𝑚)
126	125	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((∗‘(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) / (∗‘𝑚)) = ((∗‘(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) / 𝑚))
127	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
128	2, 4, 18	znzrhfo 19715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
129	22, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
130		fof 6028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
131	129, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
132		nnz 11276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
133		ffvelrn 6265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑚) ∈ (Base‘𝑍))
134	131, 132, 133	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐿‘𝑚) ∈ (Base‘𝑍))
135	127, 134	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑋‘(𝐿‘𝑚)) ∈ ℂ)
136		nncn 10905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
137	136	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
138		nnne0 10930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
139	138	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
140	135, 137, 139	cjdivd 13811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) = ((∗‘(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) / (∗‘𝑚)))
141		fvco3 6185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℂ ∧ (𝐿‘𝑚) ∈ (Base‘𝑍)) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿‘𝑚)) = (∗‘(𝑋‘(𝐿‘𝑚))))
142	127, 134, 141	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿‘𝑚)) = (∗‘(𝑋‘(𝐿‘𝑚))))
143	142	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = ((∗‘(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) / 𝑚))
144	126, 140, 143	3eqtr4d 2654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) = (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))
145	122, 144	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛)))‘𝑚) = (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))
146	135	cjcld 13784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) ∈ ℂ)
147	146, 137, 139	divcld 10680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((∗‘(𝑋‘(𝐿‘𝑚))) / 𝑚) ∈ ℂ)
148	143, 147	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
149		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)) = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))
150	2, 18, 19, 1, 3, 20, 10, 101, 149	dchrmusumlema 24982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))
151		simprrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡)
152	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑋 ∈ 𝑊)
153	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
154	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
155	101	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑋 ≠ 1 )
156		simprl 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑐 ∈ (0[,)+∞))
157		simprrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦))
158	2, 18, 153, 1, 3, 20, 154, 155, 149, 156, 151, 157, 5	dchrvmaeq0 24993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑋 ∈ 𝑊 ↔ 𝑡 = 0))
159	152, 158	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑡 = 0)
160	151, 159	breqtrd 4609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 0)
161	160	rexlimdvaa 3014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 0))
162	161	exlimdv 1848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 0))
163	150, 162	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 0)
164		seqex 12665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛)))) ∈ V
165	164	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛)))) ∈ V)
166		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → (𝐿‘𝑎) = (𝐿‘𝑚))
167	166	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → (𝑋‘(𝐿‘𝑎)) = (𝑋‘(𝐿‘𝑚)))
168		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → 𝑎 = 𝑚)
169	167, 168	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))
170		ovex 6577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) ∈ V
171	169, 149, 170	fvmpt 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))‘𝑚) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))
172	171	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))‘𝑚) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))
173	135, 137, 139	divcld 10680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
174	172, 173	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))‘𝑚) ∈ ℂ)
175	112, 113, 174	serf 12691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))):ℕ⟶ℂ)
176	175	ffvelrnda 6267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘𝑘) ∈ ℂ)
177		fzfid 12634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1...𝑘) ∈ Fin)
178		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝜑)
179		elfznn 12241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑚 ∈ (1...𝑘) → 𝑚 ∈ ℕ)
180	178, 179, 173	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) ∈ ℂ)
181	177, 180	fsumcj 14383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∗‘Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) = Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)(∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))
182	178, 179, 172	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → ((𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎))‘𝑚) = ((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))
183		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
184	183, 112	syl6eleq 2698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
185	182, 184, 180	fsumser 14308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘𝑘))
186	185	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∗‘Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) = (∗‘(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘𝑘)))
187	178, 179, 122	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛)))‘𝑚) = (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)))
188	173	cjcld 13784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℂ)
189	178, 179, 188	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑘)) → (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) ∈ ℂ)
190	187, 184, 189	fsumser 14308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑚 ∈ (1...𝑘)(∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚)) = (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛))))‘𝑘))
191	181, 186, 190	3eqtr3rd 2653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛))))‘𝑘) = (∗‘(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑋‘(𝐿‘𝑎)) / 𝑎)))‘𝑘)))
192	112, 163, 165, 113, 176, 191	climcj 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛)))) ⇝ (∗‘0))
193		cj0 13746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∗‘0) = 0
194	192, 193	syl6breq 4624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∗‘((𝑋‘(𝐿‘𝑛)) / 𝑛)))) ⇝ 0)
195	112, 113, 145, 148, 194	isumclim 14330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0)
196		fveq1 6102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 = (∗ ∘ 𝑋) → (𝑦‘(𝐿‘𝑚)) = ((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿‘𝑚)))
197	196	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 = (∗ ∘ 𝑋) → ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))
198	197	sumeq2sdv 14282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 = (∗ ∘ 𝑋) → Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ ℕ (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚))
199	198	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = (∗ ∘ 𝑋) → (Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0 ↔ Σ𝑚 ∈ ℕ (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0))
200	199, 5	elrab2 3333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝑊 ↔ ((∗ ∘ 𝑋) ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∧ Σ𝑚 ∈ ℕ (((∗ ∘ 𝑋)‘(𝐿‘𝑚)) / 𝑚) = 0))
201	111, 195, 200	sylanbrc 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝑊)
202	201	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝑊)
203	8	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑋 ∈ 𝑊)
204		hashprg 13043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((∗ ∘ 𝑋) ∈ 𝑊 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ((∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋 ↔ (#‘{(∗ ∘ 𝑋), 𝑋}) = 2))
205	202, 203, 204	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋 ↔ (#‘{(∗ ∘ 𝑋), 𝑋}) = 2))
206	90, 205	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (#‘{(∗ ∘ 𝑋), 𝑋}) = 2)
207	60	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 𝑊 ∈ Fin)
208	202, 203	prssd 4294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → {(∗ ∘ 𝑋), 𝑋} ⊆ 𝑊)
209		ssdomg 7887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → ({(∗ ∘ 𝑋), 𝑋} ⊆ 𝑊 → {(∗ ∘ 𝑋), 𝑋} ≼ 𝑊))
210	207, 208, 209	sylc 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → {(∗ ∘ 𝑋), 𝑋} ≼ 𝑊)
211		hashdomi 13030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ({(∗ ∘ 𝑋), 𝑋} ≼ 𝑊 → (#‘{(∗ ∘ 𝑋), 𝑋}) ≤ (#‘𝑊))
212	210, 211	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (#‘{(∗ ∘ 𝑋), 𝑋}) ≤ (#‘𝑊))
213	206, 212	eqbrtrrd 4607	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 2 ≤ (#‘𝑊))
214		suble0 10421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℝ) → ((2 − (#‘𝑊)) ≤ 0 ↔ 2 ≤ (#‘𝑊)))
215	78, 80, 214	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((2 − (#‘𝑊)) ≤ 0 ↔ 2 ≤ (#‘𝑊)))
216	213, 215	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (2 − (#‘𝑊)) ≤ 0)
217	81, 76, 73, 89, 216	lemul2ad 10843	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (2 − (#‘𝑊))) ≤ ((log‘𝑥) · 0))
218		df-2 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 = (1 + 1)
219	218	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 − (#‘𝑊)) = ((1 + 1) − (#‘𝑊))
220		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 1 ∈ ℂ)
221	80	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
222	220, 220, 221	addsubassd 10291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((1 + 1) − (#‘𝑊)) = (1 + (1 − (#‘𝑊))))
223	219, 222	syl5eq 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (2 − (#‘𝑊)) = (1 + (1 − (#‘𝑊))))
224	223	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (2 − (#‘𝑊))) = ((log‘𝑥) · (1 + (1 − (#‘𝑊)))))
225	72	adantrr 749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
226	65	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 − (#‘𝑊)) ∈ ℝ)
227	226	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1 − (#‘𝑊)) ∈ ℂ)
228	225, 220, 227	adddid 9943	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (1 + (1 − (#‘𝑊)))) = (((log‘𝑥) · 1) + ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))))
229	225	mulid1d 9936	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · 1) = (log‘𝑥))
230	229	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((log‘𝑥) · 1) + ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) = ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))))
231	224, 228, 230	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · (2 − (#‘𝑊))) = ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))))
232	225	mul01d 10114	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) · 0) = 0)
233	217, 231, 232	3brtr3d 4614	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) ≤ 0)
234	34	nnred 10912	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
235	234	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
236	50	ad2ant2r 779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
237	35	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ0)
238	237	nn0ge0d 11231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (ϕ‘𝑁))
239	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
240		vmage0 24647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
241	45, 240	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))) → 0 ≤ (Λ‘𝑛))
242	45	nnred 10912	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))) → 𝑛 ∈ ℝ)
243	45	nngt0d 10941	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))) → 0 < 𝑛)
244		divge0 10771	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((Λ‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (Λ‘𝑛)) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → 0 ≤ ((Λ‘𝑛) / 𝑛))
245	239, 241, 242, 243, 244	syl22anc 1319	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))) → 0 ≤ ((Λ‘𝑛) / 𝑛))
246	41, 49, 245	fsumge0 14368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛))
247	246	ad2ant2r 779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛))
248	235, 236, 238, 247	mulge0d 10483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
249	75, 76, 77, 233, 248	letrd 10073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → ((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) ≤ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
250		leaddsub 10383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((log‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))) ∈ ℝ ∧ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ) → (((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) ≤ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ↔ (log‘𝑥) ≤ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))))))
251	73, 74, 77, 250	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((log‘𝑥) + ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) ≤ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ↔ (log‘𝑥) ≤ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))))))
252	249, 251	mpbid 221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (log‘𝑥) ≤ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))))
253	73, 89	absidd 14009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(log‘𝑥)) = (log‘𝑥))
254	68	ad2ant2r 779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) ∈ ℝ)
255	76, 73, 254, 89, 252	letrd 10073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → 0 ≤ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))))
256	254, 255	absidd 14009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))))) = (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))))
257	252, 253, 256	3brtr4d 4615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(log‘𝑥)) ≤ (abs‘(((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (◡𝐿 “ {(1r‘𝑍)}))((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))))))
258	17, 33, 70, 72, 257	o1le 14231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1))
259	258	ex 449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((∗ ∘ 𝑋) ≠ 𝑋 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)))
260	259	necon1bd 2800	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1) → (∗ ∘ 𝑋) = 𝑋))
261	16, 260	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∗ ∘ 𝑋) = 𝑋)
262	261	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (∗ ∘ 𝑋) = 𝑋)
263	262	fveq1d 6105	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → ((∗ ∘ 𝑋)‘𝑥) = (𝑋‘𝑥))
264	15, 263	eqtr3d 2646	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (∗‘(𝑋‘𝑥)) = (𝑋‘𝑥))
265	13, 264	cjrebd 13790	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑍)) → (𝑋‘𝑥) ∈ ℝ)
266	265	ralrimiva 2949	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋‘𝑥) ∈ ℝ)
267		ffnfv 6295	. 2 ⊢ (𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ ↔ (𝑋 Fn (Base‘𝑍) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑍)(𝑋‘𝑥) ∈ ℝ))
268	12, 266, 267	sylanbrc 695	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ^◡ccnv 5037   “ cima 5041   ∘ ccom 5042   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  –onto→wfo 5802  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ≼ cdom 7839  Fincfn 7841  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  +∞cpnf 9950   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ℝ⁺crp 11708  [,)cico 12048  ...cfz 12197  ⌊cfl 12453  seqcseq 12663  #chash 12979  ∗ccj 13684  abscabs 13822   ⇝ cli 14063  𝑂(1)co1 14065  Σcsu 14264  ϕcphi 15307  Basecbs 15695  0_gc0g 15923  Grpcgrp 17245  inv_gcminusg 17246  Abelcabl 18017  1_rcur 18324  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371  Unitcui 18462  ℤRHomczrh 19667  ℤ/nℤczn 19670  logclog 24105  Λcvma 24618  DChrcdchr 24757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-rpss 6835  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-o1 14069  df-lo1 14070  df-sum 14265  df-ef 14637  df-e 14638  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-phi 15309  df-pc 15380  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-qus 15992  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-nsg 17415  df-eqg 17416  df-ghm 17481  df-gim 17524  df-ga 17546  df-cntz 17573  df-oppg 17599  df-od 17771  df-gex 17772  df-pgp 17773  df-lsm 17874  df-pj1 17875  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-cyg 18103  df-dprd 18217  df-dpj 18218  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-rnghom 18538  df-drng 18572  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-lidl 18995  df-rsp 18996  df-2idl 19053  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-zring 19638  df-zrh 19671  df-zn 19674  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-0p 23243  df-limc 23436  df-dv 23437  df-ply 23748  df-idp 23749  df-coe 23750  df-dgr 23751  df-quot 23850  df-log 24107  df-cxp 24108  df-em 24519  df-cht 24623  df-vma 24624  df-chp 24625  df-ppi 24626  df-mu 24627  df-dchr 24758

This theorem is referenced by:  dchrisum0  25009