Theorem mulge0d 10483

Description: The product of two nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
addge0d.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
addge0d.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mulge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		addge0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
3		ltnegd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		addge0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
5		mulge0 10425	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵)) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 1319	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   · cmul 9820   ≤ cle 9954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959

This theorem is referenced by:  supmul1  10869  mul2lt0bi  11812  faclbnd6  12948  sqrtmul  13848  sqreulem  13947  climcnds  14422  lcmgcdlem  15157  nmoi  22342  nmoleub2lem3  22723  ipcau2  22841  trirn  22991  itg1ge0  23259  itg1ge0a  23284  itgmulc2lem1  23404  bddmulibl  23411  dvlip  23560  dvfsumlem4  23596  dvfsum2  23601  plyeq0lem  23770  radcnvlem1  23971  dvradcnv  23979  cxpsqrtlem  24248  abscxpbnd  24294  heron  24365  asinlem3  24398  vmadivsum  24971  rpvmasumlem  24976  dchrisumlem2  24979  dchrisum0flblem2  24998  dchrisum0re  25002  mulog2sumlem2  25024  vmalogdivsum2  25027  2vmadivsumlem  25029  selbergb  25038  selberg2lem  25039  selberg2b  25041  chpdifbndlem1  25042  selberg3lem2  25047  selberg4lem1  25049  pntrlog2bndlem1  25066  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem4  25069  pntrlog2bndlem6  25072  pntrlog2bnd  25073  pntlemn  25089  ostth2lem3  25124  ttgcontlem1  25565  brbtwn2  25585  colinearalglem4  25589  ax5seglem3  25611  branmfn  28348  eulerpartlemgc  29751  iblmulc2nc  32645  itgmulc2nclem1  32646  geomcau  32725  rrnequiv  32804  pellexlem2  36412  pellexlem6  36416  pell1qrge1  36452  rmxypos  36532  ltrmxnn0  36534  nzprmdif  37540  xralrple3  38531  fmul01  38647  dvbdfbdioolem2  38819  stoweidlem1  38894  stoweidlem16  38909  stoweidlem26  38919  stoweidlem38  38931  wallispilem4  38961  wallispi  38963  wallispi2lem1  38964  stirlinglem1  38967  stirlinglem5  38971  stirlinglem6  38972  stirlinglem7  38973  stirlinglem10  38976  stirlinglem11  38977  stirlinglem15  38981  stirlingr  38983  fourierdlem42  39042  rrndistlt  39186