MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul01d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul01d 10114
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
muld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
mul01d (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)

Proof of Theorem mul01d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 mul01 10094 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 0) = 0)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  (class class class)co 6549  cc 9813  0cc0 9815   · cmul 9820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958
This theorem is referenced by:  mulge0  10425  mul0or  10546  diveq0  10574  div0  10594  lemul1a  10756  un0mulcl  11204  mul2lt0bi  11812  rexmul  11973  modid  12557  addmodlteq  12607  expmul  12767  sqlecan  12833  discr  12863  hashf1lem2  13097  hashf1  13098  fsummulc2  14358  geolim  14440  geomulcvg  14446  fprodeq0  14544  0risefac  14608  0dvds  14840  smumullem  15052  bezoutlem1  15094  lcmgcd  15158  mulgcddvds  15207  cncongr2  15220  prmdiv  15328  pcaddlem  15430  qexpz  15443  prmreclem4  15461  prmreclem5  15462  mulgnn0ass  17401  odadd2  18075  isabvd  18643  nn0srg  19635  rge0srg  19636  nmolb2d  22332  nmoleub  22345  reparphti  22605  pcorevlem  22634  itg1val2  23257  i1fmullem  23267  itg1addlem4  23272  itg10a  23283  itg1ge0a  23284  itg2const  23313  itg2monolem1  23323  itg0  23352  itgz  23353  iblmulc2  23403  itgmulc2lem1  23404  bddmulibl  23411  dvcnp2  23489  dvcobr  23515  dvlip  23560  dvlipcn  23561  c1lip1  23564  dvlt0  23572  plymullem1  23774  coefv0  23808  coemullem  23810  coemulhi  23814  dgrmulc  23831  dgrcolem2  23834  dvply1  23843  plydivlem3  23854  elqaalem2  23879  elqaalem3  23880  tayl0  23920  dvtaylp  23928  radcnv0  23974  dvradcnv  23979  pserdvlem2  23986  abelthlem2  23990  pilem2  24010  sinmpi  24043  cosmpi  24044  sinppi  24045  cosppi  24046  tanregt0  24089  efsubm  24101  argregt0  24160  argrege0  24161  argimgt0  24162  logtayl  24206  mulcxplem  24230  mulcxp  24231  cxpmul2  24235  pythag  24347  quad2  24366  dcubic  24373  atans2  24458  zetacvg  24541  lgamgulmlem2  24556  mumul  24707  logexprlim  24750  dchrsum2  24793  sumdchr2  24795  lgsdilem  24849  lgsdirnn0  24869  lgsdinn0  24870  lgsquad3  24912  rpvmasumlem  24976  dchrisumlem1  24978  dchrvmasumiflem2  24991  rpvmasum2  25001  dchrisum0re  25002  pntrlog2bndlem4  25069  pntlemf  25094  pntleml  25100  ostth2lem2  25123  ostth3  25127  colinearalg  25590  nmlnoubi  27035  ipasslem2  27071  cdj3lem1  28677  2sqmod  28979  xrge0iifhom  29311  sgnmul  29931  signsplypnf  29953  signswch  29964  signlem0  29990  knoppndvlem6  31678  knoppndvlem8  31680  knoppndvlem13  31685  ovoliunnfl  32621  voliunnfl  32623  itg2addnclem  32631  iblmulc2nc  32645  itgmulc2nclem1  32646  areacirc  32675  geomcau  32725  bfp  32793  irrapxlem1  36404  pell1qr1  36453  pell1qrgaplem  36455  rmxy0  36506  jm2.18  36573  mpaaeu  36739  relexpmulg  37021  binomcxplemnotnn0  37577  xralrple2  38511  stoweidlem26  38919  stoweidlem37  38930  stirlinglem7  38973  dirkercncflem2  38997  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  sqwvfoura  39121  sqwvfourb  39122  etransclem15  39142  etransclem24  39151  etransclem25  39152  etransclem32  39159  etransclem35  39162  etransclem48  39175  hoidmvlelem1  39485  hoidmvlelem2  39486  hoidmvlelem3  39487  sharhght  39703  pwdif  40039  altgsumbcALT  41924  dig0  42198
  Copyright terms: Public domain W3C validator