Theorem seqex 12665

Description: Existence of the sequence builder operation. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqex	⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Proof of Theorem seqex

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seq 12664	. 2 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω)
2		rdgfun 7399	. . 3 ⊢ Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩)
3		omex 8423	. . 3 ⊢ ω ∈ V
4		funimaexg 5889	. . 3 ⊢ ((Fun rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V)
5	2, 3, 4	mp2an 704	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑦 + (𝐹‘(𝑥 + 1)))⟩), ⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩) “ ω) ∈ V
6	1, 5	eqeltri 2684	1 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ⟨cop 4131   “ cima 5041  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  ωcom 6957  reccrdg 7392  1c1 9816   + caddc 9818  seqcseq 12663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-seq 12664

This theorem is referenced by:  seqshft  13673  clim2ser  14233  clim2ser2  14234  isermulc2  14236  isershft  14242  isercoll  14246  isercoll2  14247  iseralt  14263  fsumcvg  14290  sumrb  14291  isumclim3  14332  isumadd  14340  cvgcmp  14389  cvgcmpce  14391  trireciplem  14433  geolim  14440  geolim2  14441  geo2lim  14445  geomulcvg  14446  geoisum1c  14450  cvgrat  14454  mertens  14457  clim2prod  14459  clim2div  14460  ntrivcvg  14468  ntrivcvgfvn0  14470  ntrivcvgmullem  14472  fprodcvg  14499  prodrblem2  14500  fprodntriv  14511  iprodclim3  14570  iprodmul  14573  efcj  14661  eftlub  14678  eflegeo  14690  rpnnen2lem5  14786  mulgfval  17365  ovoliunnul  23082  ioombl1lem4  23136  vitalilem5  23187  dvnfval  23491  aaliou3lem3  23903  dvradcnv  23979  pserulm  23980  abelthlem6  23994  abelthlem7  23996  abelthlem9  23998  logtayllem  24205  logtayl  24206  atantayl  24464  leibpilem2  24468  leibpi  24469  log2tlbnd  24472  zetacvg  24541  lgamgulm2  24562  lgamcvglem  24566  lgamcvg2  24581  dchrisumlem3  24980  dchrisum0re  25002  esumcvgsum  29477  sseqval  29777  iprodgam  30881  faclim  30885  knoppcnlem6  31658  knoppcnlem9  31661  knoppndvlem4  31676  knoppndvlem6  31678  knoppf  31696  geomcau  32725  dvradcnv2  37568  binomcxplemnotnn0  37577  sumnnodd  38697  stirlinglem5  38971  stirlinglem7  38973  fourierdlem112  39111  sge0isum  39320