Theorem nndivre 10933

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 10904	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 10930	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 553	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 10623	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1258	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 490	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   / cdiv 10563  ℕcn 10897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898

This theorem is referenced by:  nnrecre  10934  nndivred  10946  fldiv2  12522  zmodcl  12552  iexpcyc  12831  sqrlem7  13837  expcnv  14435  ef01bndlem  14753  sin01bnd  14754  cos01bnd  14755  rpnnen2lem2  14783  rpnnen2lem3  14784  rpnnen2lem4  14785  rpnnen2lem9  14790  fldivp1  15439  ovoliunlem1  23077  dyadf  23165  dyadovol  23167  mbfi1fseqlem3  23290  mbfi1fseqlem4  23291  dveflem  23546  plyeq0lem  23770  tangtx  24061  tan4thpi  24070  root1id  24295  root1eq1  24296  root1cj  24297  cxpeq  24298  1cubrlem  24368  atan1  24455  log2tlbnd  24472  log2ublem1  24473  log2ublem2  24474  log2ub  24476  birthdaylem3  24480  birthday  24481  basellem5  24611  basellem8  24614  ppiub  24729  logfac2  24742  dchrptlem1  24789  dchrptlem2  24790  bposlem3  24811  bposlem4  24812  bposlem5  24813  bposlem6  24814  bposlem9  24817  vmadivsum  24971  dchrisum0lem1a  24975  dchrmusum2  24983  dchrvmasum2if  24986  dchrvmasumlem2  24987  dchrvmasumiflem1  24990  dchrvmasumiflem2  24991  dchrisum0re  25002  dchrisum0lem1b  25004  dchrisum0lem1  25005  dchrvmasumlem  25012  rplogsum  25016  mudivsum  25019  selberg2  25040  chpdifbndlem1  25042  selberg3lem1  25046  selbergr  25057  pntlemb  25086  pntlemg  25087  pntlemf  25094  snmlff  30565  sinccvglem  30820  circum  30822  poimirlem29  32608  poimirlem30  32609  poimirlem32  32611