Theorem log2ub 24476

Description: log2 is less than 253 / 365. If written in decimal, this is because log2 = 0.693147... is less than 253/365 = 0.693151... , so this is a very tight bound, at five decimal places. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
log2ub	⊢ (log‘2) < (;;253 / ;;365)

Proof of Theorem log2ub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4m1e3 11015	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 − 1) = 3
2	1	oveq2i 6560	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(4 − 1)) = (0...3)
3	2	sumeq1i 14276	. . . . . . 7 ⊢ Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
4	3	oveq2i 6560	. . . . . 6 ⊢ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
5		4nn0 11188	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		log2tlbnd 24472	. . . . . . 7 ⊢ (4 ∈ ℕ0 → ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(4 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
8	4, 7	eqeltrri 2685	. . . . 5 ⊢ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
9		0re 9919	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		3re 10971	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℝ
11		4nn 11064	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ
12		2nn0 11186	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ0
13		1nn 10908	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ
14	12, 5, 13	numnncl 11383	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · 4) + 1) ∈ ℕ
15	11, 14	nnmulcli 10921	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · ((2 · 4) + 1)) ∈ ℕ
16		9nn 11069	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ∈ ℕ
17		nnexpcl 12735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (9↑4) ∈ ℕ)
18	16, 5, 17	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ (9↑4) ∈ ℕ
19	15, 18	nnmulcli 10921	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) ∈ ℕ
20		nndivre 10933	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) ∈ ℕ) → (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))) ∈ ℝ)
21	10, 19, 20	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))) ∈ ℝ
22	9, 21	elicc2i 12110	. . . . 5 ⊢ (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ↔ (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∧ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))))
23	8, 22	mpbi 219	. . . 4 ⊢ (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∧ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
24	23	simp3i 1065	. . 3 ⊢ ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))
25		2rp 11713	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
26		relogcl 24126	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (log‘2) ∈ ℝ
28		fzfid 12634	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (0...3) ∈ Fin)
29		2re 10967	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
30		3nn 11063	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ
31		elfznn0 12302	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (0...3) → 𝑛 ∈ ℕ0)
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
33		nn0mulcl 11206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
34	12, 32, 33	sylancr 694	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
35		nn0p1nn 11209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
37		nnmulcl 10920	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
38	30, 36, 37	sylancr 694	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
39		nnexpcl 12735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
40	16, 32, 39	sylancr 694	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
41	38, 40	nnmulcld 10945	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ)
42		nndivre 10933	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
43	29, 41, 42	sylancr 694	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ (0...3)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
44	28, 43	fsumrecl 14312	. . . . 5 ⊢ (⊤ → Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
45	44	trud 1484	. . . 4 ⊢ Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ
46	27, 45, 21	lesubadd2i 10467	. . 3 ⊢ (((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))) ↔ (log‘2) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))))
47	24, 46	mpbi 219	. 2 ⊢ (log‘2) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
48		log2ublem3 24475	. . . . 5 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ≤ ;;;;53056
49		3nn0 11187	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
50		5nn0 11189	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℕ0
51	50, 49	deccl 11388	. . . . . . . 8 ⊢ ;53 ∈ ℕ0
52		0nn0 11184	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
53	51, 52	deccl 11388	. . . . . . 7 ⊢ ;;530 ∈ ℕ0
54	53, 50	deccl 11388	. . . . . 6 ⊢ ;;;5305 ∈ ℕ0
55		6nn0 11190	. . . . . 6 ⊢ 6 ∈ ℕ0
56	54, 55	deccl 11388	. . . . 5 ⊢ ;;;;53056 ∈ ℕ0
57		1nn0 11185	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
58		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) = (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))
59		6p1e7 11033	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
60		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ ;;;;53056 = ;;;;53056
61	54, 55, 59, 60	decsuc 11411	. . . . 5 ⊢ (;;;;53056 + 1) = ;;;;53057
62		5nn 11065	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℕ
63		7nn 11067	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℕ
64	62, 63	nnmulcli 10921	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · 7) ∈ ℕ
65	64	nnrei 10906	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 7) ∈ ℝ
66	15	nnrei 10906	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · ((2 · 4) + 1)) ∈ ℝ
67		6nn 11066	. . . . . . . . . 10 ⊢ 6 ∈ ℕ
68		5lt6 11081	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 < 6
69	49, 50, 67, 68	declt 11406	. . . . . . . . 9 ⊢ ;35 < ;36
70		7cn 10981	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℂ
71		5cn 10977	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 ∈ ℂ
72		7t5e35 11527	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 · 5) = ;35
73	70, 71, 72	mulcomli 9926	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 · 7) = ;35
74		4cn 10975	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℂ
75		2cn 10968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℂ
76		4t2e8 11058	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (4 · 2) = 8
77	74, 75, 76	mulcomli 9926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 · 4) = 8
78	77	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 4) + 1) = (8 + 1)
79		8p1e9 11035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 + 1) = 9
80	78, 79	eqtri 2632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) + 1) = 9
81	80	oveq2i 6560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · ((2 · 4) + 1)) = (4 · 9)
82		9cn 10985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℂ
83		9t4e36 11541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · 4) = ;36
84	82, 74, 83	mulcomli 9926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 · 9) = ;36
85	81, 84	eqtri 2632	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · ((2 · 4) + 1)) = ;36
86	69, 73, 85	3brtr4i 4613	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 7) < (4 · ((2 · 4) + 1))
87	65, 66, 86	ltleii 10039	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 7) ≤ (4 · ((2 · 4) + 1))
88	18	nngt0i 10931	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (9↑4)
89	18	nnrei 10906	. . . . . . . . 9 ⊢ (9↑4) ∈ ℝ
90	65, 66, 89	lemul2i 10826	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < (9↑4) → ((5 · 7) ≤ (4 · ((2 · 4) + 1)) ↔ ((9↑4) · (5 · 7)) ≤ ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))))
91	88, 90	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((5 · 7) ≤ (4 · ((2 · 4) + 1)) ↔ ((9↑4) · (5 · 7)) ≤ ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))))
92	87, 91	mpbi 219	. . . . . 6 ⊢ ((9↑4) · (5 · 7)) ≤ ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
93		7nn0 11191	. . . . . . . . . 10 ⊢ 7 ∈ ℕ0
94		nnexpcl 12735	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑7) ∈ ℕ)
95	30, 93, 94	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑7) ∈ ℕ
96	95	nncni 10907	. . . . . . . 8 ⊢ (3↑7) ∈ ℂ
97	64	nncni 10907	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 7) ∈ ℂ
98		3cn 10972	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℂ
99	96, 97, 98	mul32i 10111	. . . . . . 7 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 3) = (((3↑7) · 3) · (5 · 7))
100	74, 75	mulcomi 9925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 2) = (2 · 4)
101		df-8 10962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 = (7 + 1)
102	76, 100, 101	3eqtr3i 2640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · 4) = (7 + 1)
103	102	oveq2i 6560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑(2 · 4)) = (3↑(7 + 1))
104		expmul 12767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ0) → (3↑(2 · 4)) = ((3↑2)↑4))
105	98, 12, 5, 104	mp3an 1416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑(2 · 4)) = ((3↑2)↑4)
106	103, 105	eqtr3i 2634	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑(7 + 1)) = ((3↑2)↑4)
107		expp1 12729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (3↑(7 + 1)) = ((3↑7) · 3))
108	98, 93, 107	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑(7 + 1)) = ((3↑7) · 3)
109		sq3 12823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑2) = 9
110	109	oveq1i 6559	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3↑2)↑4) = (9↑4)
111	106, 108, 110	3eqtr3i 2640	. . . . . . . 8 ⊢ ((3↑7) · 3) = (9↑4)
112	111	oveq1i 6559	. . . . . . 7 ⊢ (((3↑7) · 3) · (5 · 7)) = ((9↑4) · (5 · 7))
113	99, 112	eqtri 2632	. . . . . 6 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 3) = ((9↑4) · (5 · 7))
114	15	nncni 10907	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 · ((2 · 4) + 1)) ∈ ℂ
115	18	nncni 10907	. . . . . . . . 9 ⊢ (9↑4) ∈ ℂ
116	114, 115	mulcomi 9925	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) = ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
117	116	oveq1i 6559	. . . . . . 7 ⊢ (((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) · 1) = (((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))) · 1)
118	115, 114	mulcli 9924	. . . . . . . 8 ⊢ ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))) ∈ ℂ
119	118	mulid1i 9921	. . . . . . 7 ⊢ (((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1))) · 1) = ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
120	117, 119	eqtri 2632	. . . . . 6 ⊢ (((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) · 1) = ((9↑4) · (4 · ((2 · 4) + 1)))
121	92, 113, 120	3brtr4i 4613	. . . . 5 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · 3) ≤ (((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)) · 1)
122	48, 45, 49, 19, 56, 57, 58, 61, 121	log2ublem1 24473	. . . 4 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) · (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))) ≤ ;;;;53057
123	45, 21	readdcli 9932	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ∈ ℝ
124	54, 93	deccl 11388	. . . . . 6 ⊢ ;;;;53057 ∈ ℕ0
125	124	nn0rei 11180	. . . . 5 ⊢ ;;;;53057 ∈ ℝ
126	95, 64	nnmulcli 10921	. . . . . . 7 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℕ
127	126	nnrei 10906	. . . . . 6 ⊢ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ
128	126	nngt0i 10931	. . . . . 6 ⊢ 0 < ((3↑7) · (5 · 7))
129	127, 128	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3↑7) · (5 · 7)))
130		lemuldiv2 10783	. . . . 5 ⊢ (((Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ∈ ℝ ∧ ;;;;53057 ∈ ℝ ∧ (((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3↑7) · (5 · 7)))) → ((((3↑7) · (5 · 7)) · (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))) ≤ ;;;;53057 ↔ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7)))))
131	123, 125, 129, 130	mp3an 1416	. . . 4 ⊢ ((((3↑7) · (5 · 7)) · (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4))))) ≤ ;;;;53057 ↔ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))))
132	122, 131	mpbi 219	. . 3 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7)))
133		8nn0 11192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 8 ∈ ℕ0
134	49, 133	deccl 11388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;38 ∈ ℕ0
135	134, 93	deccl 11388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;387 ∈ ℕ0
136	135, 49	deccl 11388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;3873 ∈ ℕ0
137	136, 57	deccl 11388	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;38731 ∈ ℕ0
138	137, 55	deccl 11388	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;387316 ∈ ℕ0
139	137, 93	deccl 11388	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;387317 ∈ ℕ0
140		1lt10 11557	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < ;10
141		6lt7 11086	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 < 7
142	137, 55, 63, 141	declt 11406	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;;387316 < ;;;;;387317
143	138, 139, 57, 93, 140, 142	decltc 11408	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;;;3873161 < ;;;;;;3873177
144		eqid 2610	. . . . . . . 8 ⊢ ;73 = ;73
145	57, 50	deccl 11388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;15 ∈ ℕ0
146		9nn0 11193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ0
147	145, 146	deccl 11388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;159 ∈ ℕ0
148	147, 57	deccl 11388	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;1591 ∈ ℕ0
149	148, 93	deccl 11388	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;15917 ∈ ℕ0
150		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;53057 = ;;;;53057
151		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;15917 = ;;;;15917
152		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;5305 = ;;;5305
153		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;;1591 = ;;;1591
154		ax-1cn 9873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
155		5p1e6 11032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (5 + 1) = 6
156	71, 154, 155	addcomli 10107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + 5) = 6
157	147, 57, 50, 153, 156	decaddi 11455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (;;;1591 + 5) = ;;;1596
158	57, 55	deccl 11388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
159		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;530 = ;;530
160		eqid 2610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;159 = ;;159
161		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;15 = ;15
162	57, 50, 155, 161	decsuc 11411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;15 + 1) = ;16
163		9p4e13 11498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (9 + 4) = ;13
164	145, 146, 5, 160, 162, 49, 163	decaddci 11456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;;159 + 4) = ;;163
165		eqid 2610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;53 = ;53
166	158	nn0cni 11181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;16 ∈ ℂ
167	166	addid1i 10102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;16 + 0) = ;16
168		1p2e3 11029	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 2) = 3
169	168	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 7) + (1 + 2)) = ((5 · 7) + 3)
170		5p3e8 11043	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 + 3) = 8
171	49, 50, 49, 73, 170	decaddi 11455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 7) + 3) = ;38
172	169, 171	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 · 7) + (1 + 2)) = ;38
173		7t3e21 11525	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 · 3) = ;21
174	70, 98, 173	mulcomli 9926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 · 7) = ;21
175		6cn 10979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℂ
176	175, 154, 59	addcomli 10107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 6) = 7
177	12, 57, 55, 174, 176	decaddi 11455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · 7) + 6) = ;27
178	50, 49, 57, 55, 165, 167, 93, 93, 12, 172, 177	decmac 11442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;53 · 7) + (;16 + 0)) = ;;387
179	70	mul02i 10104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 · 7) = 0
180	179	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 · 7) + 3) = (0 + 3)
181	98	addid2i 10103	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 3) = 3
182	49	dec0h 11398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 = ;03
183	181, 182	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 3) = ;03
184	180, 183	eqtri 2632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 · 7) + 3) = ;03
185	51, 52, 158, 49, 159, 164, 93, 49, 52, 178, 184	decmac 11442	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;530 · 7) + (;;159 + 4)) = ;;;3873
186		3p1e4 11030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 + 1) = 4
187		6p5e11 11476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (6 + 5) = ;11
188	175, 71, 187	addcomli 10107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 6) = ;11
189	49, 50, 55, 73, 186, 57, 188	decaddci 11456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 · 7) + 6) = ;41
190	53, 50, 147, 55, 152, 157, 93, 57, 5, 185, 189	decmac 11442	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;;;5305 · 7) + (;;;1591 + 5)) = ;;;;38731
191		7t7e49 11529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 · 7) = ;49
192		4p1e5 11031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = 5
193		9p7e16 11501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (9 + 7) = ;16
194	5, 146, 93, 191, 192, 55, 193	decaddci 11456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((7 · 7) + 7) = ;56
195	54, 93, 148, 93, 150, 151, 93, 55, 50, 190, 194	decmac 11442	. . . . . . . 8 ⊢ ((;;;;53057 · 7) + ;;;;15917) = ;;;;;387316
196	12	dec0h 11398	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = ;02
197	154	addid2i 10103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 1) = 1
198	57	dec0h 11398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = ;01
199	197, 198	eqtri 2632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = ;01
200		00id 10090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 0) = 0
201	52	dec0h 11398	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = ;00
202	200, 201	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 0) = ;00
203		5t3e15 11511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 · 3) = ;15
204	203	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 3) + 0) = (;15 + 0)
205	145	nn0cni 11181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;15 ∈ ℂ
206	205	addid1i 10102	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;15 + 0) = ;15
207	204, 206	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 · 3) + 0) = ;15
208		3t3e9 11057	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 · 3) = 9
209	208	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 · 3) + 0) = (9 + 0)
210	82	addid1i 10102	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (9 + 0) = 9
211	209, 210	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · 3) + 0) = 9
212	50, 49, 52, 52, 165, 202, 49, 207, 211	decma 11440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;53 · 3) + (0 + 0)) = ;;159
213	98	mul02i 10104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 · 3) = 0
214	213	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 · 3) + 1) = (0 + 1)
215	214, 199	eqtri 2632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 · 3) + 1) = ;01
216	51, 52, 52, 57, 159, 199, 49, 57, 52, 212, 215	decmac 11442	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;530 · 3) + (0 + 1)) = ;;;1591
217		5p2e7 11042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (5 + 2) = 7
218	57, 50, 12, 203, 217	decaddi 11455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 · 3) + 2) = ;17
219	53, 50, 52, 12, 152, 196, 49, 93, 57, 216, 218	decmac 11442	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;;;5305 · 3) + 2) = ;;;;15917
220	49, 54, 93, 150, 57, 12, 219, 173	decmul1c 11463	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;53057 · 3) = ;;;;;159171
221	124, 93, 49, 144, 57, 149, 195, 220	decmul2c 11465	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;53057 · ;73) = ;;;;;;3873161
222	50, 50	deccl 11388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;55 ∈ ℕ0
223	222, 49	deccl 11388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;553 ∈ ℕ0
224	223, 49	deccl 11388	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;5533 ∈ ℕ0
225	224, 57	deccl 11388	. . . . . . . 8 ⊢ ;;;;55331 ∈ ℕ0
226	12, 50	deccl 11388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
227	226, 49	deccl 11388	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;253 ∈ ℕ0
228	12, 57	deccl 11388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;21 ∈ ℕ0
229	228, 133	deccl 11388	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;218 ∈ ℕ0
230	93, 12	deccl 11388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;72 ∈ ℕ0
231		3t2e6 11056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 · 2) = 6
232	98, 75, 231	mulcomli 9926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 3) = 6
233		3exp3 15636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3↑3) = ;27
234	12, 93	deccl 11388	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;27 ∈ ℕ0
235		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;27 = ;27
236	57, 133	deccl 11388	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;18 ∈ ℕ0
237		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;18 = ;18
238		2t2e4 11054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (2 · 2) = 4
239	238, 168	oveq12i 6561	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 · 2) + (1 + 2)) = (4 + 3)
240		4p3e7 11040	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 + 3) = 7
241	239, 240	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 2) + (1 + 2)) = 7
242		7t2e14 11524	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (7 · 2) = ;14
243		1p1e2 11011	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 + 1) = 2
244		8cn 10983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 8 ∈ ℂ
245		8p4e12 11490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (8 + 4) = ;12
246	244, 74, 245	addcomli 10107	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 + 8) = ;12
247	57, 5, 133, 242, 243, 12, 246	decaddci 11456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((7 · 2) + 8) = ;22
248	12, 93, 57, 133, 235, 237, 12, 12, 12, 241, 247	decmac 11442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((;27 · 2) + ;18) = ;72
249	70, 75, 242	mulcomli 9926	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 7) = ;14
250		4p4e8 11041	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 + 4) = 8
251	57, 5, 5, 249, 250	decaddi 11455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 7) + 4) = ;18
252	93, 12, 93, 235, 146, 5, 251, 191	decmul1c 11463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;27 · 7) = ;;189
253	234, 12, 93, 235, 146, 236, 248, 252	decmul2c 11465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;27 · ;27) = ;;729
254	49, 49, 232, 233, 253	numexp2x 15621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3↑6) = ;;729
255		eqid 2610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;72 = ;72
256	232	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 3) + 2) = (6 + 2)
257		6p2e8 11046	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 + 2) = 8
258	256, 257	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 3) + 2) = 8
259	93, 12, 12, 255, 49, 173, 258	decrmanc 11452	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;72 · 3) + 2) = ;;218
260		9t3e27 11540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (9 · 3) = ;27
261	49, 230, 146, 254, 93, 12, 259, 260	decmul1c 11463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((3↑6) · 3) = ;;;2187
262	49, 55, 59, 261	numexpp1 15620	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑7) = ;;;2187
263	57, 93	deccl 11388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;17 ∈ ℕ0
264	263, 93	deccl 11388	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;177 ∈ ℕ0
265		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;218 = ;;218
266		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;177 = ;;177
267	12, 52	deccl 11388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;20 ∈ ℕ0
268	267, 49	deccl 11388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;203 ∈ ℕ0
269	12, 12	deccl 11388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;22 ∈ ℕ0
270		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;21 = ;21
271		eqid 2610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;17 = ;17
272		eqid 2610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;203 = ;;203
273		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;20 = ;20
274	75	addid2i 10103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 2) = 2
275	154	addid1i 10102	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 + 0) = 1
276	52, 57, 12, 52, 198, 273, 274, 275	decadd 11446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + ;20) = ;21
277	12, 57, 243, 276	decsuc 11411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 + ;20) + 1) = ;22
278		7p3e10 11479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (7 + 3) = ;10
279	57, 93, 267, 49, 271, 272, 277, 278	decaddc2 11451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;17 + ;;203) = ;;220
280		eqid 2610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;253 = ;;253
281		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;22 = ;22
282		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;25 = ;25
283		2p2e4 11021	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 2) = 4
284	71, 75, 217	addcomli 10107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 + 5) = 7
285	12, 12, 12, 50, 281, 282, 283, 284	decadd 11446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;22 + ;25) = ;47
286	50	dec0h 11398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 5 = ;05
287	192, 286	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 + 1) = ;05
288	238, 197	oveq12i 6561	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
289	288, 192	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
290		5t2e10 11510	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 · 2) = ;10
291	71	addid2i 10103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 5) = 5
292	57, 52, 50, 290, 291	decaddi 11455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 2) + 5) = ;15
293	12, 50, 52, 50, 282, 287, 12, 50, 57, 289, 292	decmac 11442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;25 · 2) + (4 + 1)) = ;55
294	231	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 · 2) + 7) = (6 + 7)
295		7p6e13 11484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 + 6) = ;13
296	70, 175, 295	addcomli 10107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (6 + 7) = ;13
297	294, 296	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 · 2) + 7) = ;13
298	226, 49, 5, 93, 280, 285, 12, 49, 57, 293, 297	decmac 11442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;;253 · 2) + (;22 + ;25)) = ;;553
299	227	nn0cni 11181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;;253 ∈ ℂ
300	299	mulid1i 9921	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (;;253 · 1) = ;;253
301	300	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;;253 · 1) + 0) = (;;253 + 0)
302	299	addid1i 10102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (;;253 + 0) = ;;253
303	301, 302	eqtri 2632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;;253 · 1) + 0) = ;;253
304	12, 57, 269, 52, 270, 279, 227, 49, 226, 298, 303	decma2c 11444	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;253 · ;21) + (;17 + ;;203)) = ;;;5533
305	93	dec0h 11398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 = ;07
306	74	addid2i 10103	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 4) = 4
307	306	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 8) + (0 + 4)) = ((2 · 8) + 4)
308		8t2e16 11530	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (8 · 2) = ;16
309	244, 75, 308	mulcomli 9926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 · 8) = ;16
310		6p4e10 11474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (6 + 4) = ;10
311	57, 55, 5, 309, 243, 310	decaddci2 11457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 · 8) + 4) = ;20
312	307, 311	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 · 8) + (0 + 4)) = ;20
313		8t5e40 11533	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (8 · 5) = ;40
314	244, 71, 313	mulcomli 9926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 · 8) = ;40
315	5, 52, 49, 314, 181	decaddi 11455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 · 8) + 3) = ;43
316	12, 50, 52, 49, 282, 183, 133, 49, 5, 312, 315	decmac 11442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;25 · 8) + (0 + 3)) = ;;203
317		8t3e24 11531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8 · 3) = ;24
318	244, 98, 317	mulcomli 9926	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 · 8) = ;24
319		2p1e3 11028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 + 1) = 3
320		7p4e11 11481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (7 + 4) = ;11
321	70, 74, 320	addcomli 10107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 + 7) = ;11
322	12, 5, 93, 318, 319, 57, 321	decaddci 11456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 · 8) + 7) = ;31
323	226, 49, 52, 93, 280, 305, 133, 57, 49, 316, 322	decmac 11442	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;253 · 8) + 7) = ;;;2031
324	228, 133, 263, 93, 265, 266, 227, 57, 268, 304, 323	decma2c 11444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((;;253 · ;;218) + ;;177) = ;;;;55331
325	57, 5, 49, 249, 240	decaddi 11455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 7) + 3) = ;17
326	49, 50, 12, 73, 217	decaddi 11455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((5 · 7) + 2) = ;37
327	12, 50, 12, 282, 93, 93, 49, 325, 326	decrmac 11453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;25 · 7) + 2) = ;;177
328	93, 226, 49, 280, 57, 12, 327, 174	decmul1c 11463	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;253 · 7) = ;;;1771
329	227, 229, 93, 262, 57, 264, 324, 328	decmul2c 11465	. . . . . . . 8 ⊢ (;;253 · (3↑7)) = ;;;;;553311
330		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;;;55331 = ;;;;55331
331		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;;5533 = ;;;5533
332		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;553 = ;;553
333		eqid 2610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;55 = ;55
334	274, 196	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 2) = ;02
335	181	oveq2i 6560	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((5 · 7) + (0 + 3)) = ((5 · 7) + 3)
336	335, 171	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((5 · 7) + (0 + 3)) = ;38
337	50, 50, 52, 12, 333, 334, 93, 93, 49, 336, 326	decmac 11442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((;55 · 7) + (0 + 2)) = ;;387
338	12, 57, 12, 174, 168	decaddi 11455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
339	222, 49, 52, 12, 332, 196, 93, 49, 12, 337, 338	decmac 11442	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((;;553 · 7) + 2) = ;;;3873
340	93, 223, 49, 331, 57, 12, 339, 174	decmul1c 11463	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;;5533 · 7) = ;;;;38731
341	70	mulid2i 9922	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · 7) = 7
342	93, 224, 57, 330, 93, 340, 341	decmul1 11461	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;55331 · 7) = ;;;;;387317
343	93, 225, 57, 329, 93, 342, 341	decmul1 11461	. . . . . . 7 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · 7) = ;;;;;;3873177
344	143, 221, 343	3brtr4i 4613	. . . . . 6 ⊢ (;;;;53057 · ;73) < ((;;253 · (3↑7)) · 7)
345	93, 49	deccl 11388	. . . . . . . . 9 ⊢ ;73 ∈ ℕ0
346	124, 345	nn0mulcli 11208	. . . . . . . 8 ⊢ (;;;;53057 · ;73) ∈ ℕ0
347	346	nn0rei 11180	. . . . . . 7 ⊢ (;;;;53057 · ;73) ∈ ℝ
348	49, 93	nn0expcli 12748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3↑7) ∈ ℕ0
349	227, 348	nn0mulcli 11208	. . . . . . . . 9 ⊢ (;;253 · (3↑7)) ∈ ℕ0
350	349, 93	nn0mulcli 11208	. . . . . . . 8 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · 7) ∈ ℕ0
351	350	nn0rei 11180	. . . . . . 7 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · 7) ∈ ℝ
352	62	nnrei 10906	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
353	62	nngt0i 10931	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 5
354	347, 351, 352, 353	ltmul1ii 10831	. . . . . 6 ⊢ ((;;;;53057 · ;73) < ((;;253 · (3↑7)) · 7) ↔ ((;;;;53057 · ;73) · 5) < (((;;253 · (3↑7)) · 7) · 5))
355	344, 354	mpbi 219	. . . . 5 ⊢ ((;;;;53057 · ;73) · 5) < (((;;253 · (3↑7)) · 7) · 5)
356	124	nn0cni 11181	. . . . . . 7 ⊢ ;;;;53057 ∈ ℂ
357	345	nn0cni 11181	. . . . . . 7 ⊢ ;73 ∈ ℂ
358	356, 357, 71	mulassi 9928	. . . . . 6 ⊢ ((;;;;53057 · ;73) · 5) = (;;;;53057 · (;73 · 5))
359	49, 50, 155, 72	decsuc 11411	. . . . . . . 8 ⊢ ((7 · 5) + 1) = ;36
360	71, 98, 203	mulcomli 9926	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 5) = ;15
361	50, 93, 49, 144, 50, 57, 359, 360	decmul1c 11463	. . . . . . 7 ⊢ (;73 · 5) = ;;365
362	361	oveq2i 6560	. . . . . 6 ⊢ (;;;;53057 · (;73 · 5)) = (;;;;53057 · ;;365)
363	358, 362	eqtri 2632	. . . . 5 ⊢ ((;;;;53057 · ;73) · 5) = (;;;;53057 · ;;365)
364	299, 96	mulcli 9924	. . . . . . 7 ⊢ (;;253 · (3↑7)) ∈ ℂ
365	364, 70, 71	mulassi 9928	. . . . . 6 ⊢ (((;;253 · (3↑7)) · 7) · 5) = ((;;253 · (3↑7)) · (7 · 5))
366	70, 71	mulcomi 9925	. . . . . . . 8 ⊢ (7 · 5) = (5 · 7)
367	366	oveq2i 6560	. . . . . . 7 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · (7 · 5)) = ((;;253 · (3↑7)) · (5 · 7))
368	299, 96, 97	mulassi 9928	. . . . . . 7 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · (5 · 7)) = (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
369	367, 368	eqtri 2632	. . . . . 6 ⊢ ((;;253 · (3↑7)) · (7 · 5)) = (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
370	365, 369	eqtri 2632	. . . . 5 ⊢ (((;;253 · (3↑7)) · 7) · 5) = (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
371	355, 363, 370	3brtr3i 4612	. . . 4 ⊢ (;;;;53057 · ;;365) < (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7)))
372	49, 55	deccl 11388	. . . . . . . 8 ⊢ ;36 ∈ ℕ0
373	372, 62	decnncl 11394	. . . . . . 7 ⊢ ;;365 ∈ ℕ
374	373	nnrei 10906	. . . . . 6 ⊢ ;;365 ∈ ℝ
375	373	nngt0i 10931	. . . . . 6 ⊢ 0 < ;;365
376	374, 375	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (;;365 ∈ ℝ ∧ 0 < ;;365)
377	227	nn0rei 11180	. . . . 5 ⊢ ;;253 ∈ ℝ
378		lt2mul2div 10780	. . . . 5 ⊢ (((;;;;53057 ∈ ℝ ∧ (;;365 ∈ ℝ ∧ 0 < ;;365)) ∧ (;;253 ∈ ℝ ∧ (((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3↑7) · (5 · 7))))) → ((;;;;53057 · ;;365) < (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7))) ↔ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (;;253 / ;;365)))
379	125, 376, 377, 129, 378	mp4an 705	. . . 4 ⊢ ((;;;;53057 · ;;365) < (;;253 · ((3↑7) · (5 · 7))) ↔ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (;;253 / ;;365))
380	371, 379	mpbi 219	. . 3 ⊢ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (;;253 / ;;365)
381		nndivre 10933	. . . . 5 ⊢ ((;;;;53057 ∈ ℝ ∧ ((3↑7) · (5 · 7)) ∈ ℕ) → (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) ∈ ℝ)
382	125, 126, 381	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) ∈ ℝ
383		nndivre 10933	. . . . 5 ⊢ ((;;253 ∈ ℝ ∧ ;;365 ∈ ℕ) → (;;253 / ;;365) ∈ ℝ)
384	377, 373, 383	mp2an 704	. . . 4 ⊢ (;;253 / ;;365) ∈ ℝ
385	123, 382, 384	lelttri 10043	. . 3 ⊢ (((Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ≤ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) ∧ (;;;;53057 / ((3↑7) · (5 · 7))) < (;;253 / ;;365)) → (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) < (;;253 / ;;365))
386	132, 380, 385	mp2an 704	. 2 ⊢ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) < (;;253 / ;;365)
387	27, 123, 384	lelttri 10043	. 2 ⊢ (((log‘2) ≤ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) ∧ (Σ𝑛 ∈ (0...3)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + (3 / ((4 · ((2 · 4) + 1)) · (9↑4)))) < (;;253 / ;;365)) → (log‘2) < (;;253 / ;;365))
388	47, 386, 387	mp2an 704	1 ⊢ (log‘2) < (;;253 / ;;365)

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  6c6 10951  7c7 10952  8c8 10953  9c9 10954  ℕ₀cn0 11169  ;cdc 11369  ℝ⁺crp 11708  [,]cicc 12049  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  Σcsu 14264  logclog 24105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-tan 14641  df-pi 14642  df-dvds 14822  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-ulm 23935  df-log 24107  df-atan 24394

This theorem is referenced by:  log2le1  24477  birthday  24481