Theorem circum 30822

Description: The circumference of a circle of radius 𝑅, defined as the limit as 𝑛 ⇝ +∞ of the perimeter of an inscribed n-sided isogons, is ((2 · π) · 𝑅). (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
circum.1	⊢ 𝐴 = ((2 · π) / 𝑛)
circum.2	⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((2 · 𝑛) · (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
circum.3	⊢ 𝑅 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
circum	⊢ 𝑃 ⇝ ((2 · π) · 𝑅)

Distinct variable group:   𝑅,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑃(𝑛)

Proof of Theorem circum

Dummy variables 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11599	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 11285	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		pirp 24017	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ+
4		nnrp 11718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
5		rpdivcl 11732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (π / 𝑛) ∈ ℝ+)
6	3, 4, 5	sylancr 694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (π / 𝑛) ∈ ℝ+)
7	6	rprene0d 11756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((π / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (π / 𝑛) ≠ 0))
8		eldifsn 4260	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 𝑛) ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ ((π / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (π / 𝑛) ≠ 0))
9	7, 8	sylibr 223	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (π / 𝑛) ∈ (ℝ ∖ {0}))
10	9	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (π / 𝑛) ∈ (ℝ ∖ {0}))
11		eqidd 2611	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)))
12		eqidd 2611	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)))
13		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (π / 𝑛) → (sin‘𝑦) = (sin‘(π / 𝑛)))
14		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (π / 𝑛) → 𝑦 = (π / 𝑛))
15	13, 14	oveq12d 6567	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (π / 𝑛) → ((sin‘𝑦) / 𝑦) = ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))
16	10, 11, 12, 15	fmptco 6303	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))))
17		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))
18	17, 9	fmpti 6291	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)):ℕ⟶(ℝ ∖ {0})
19		pire 24014	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
20	19	recni 9931	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
21		divcnv 14424	. . . . . . 7 ⊢ (π ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) ⇝ 0)
22	20, 21	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) ⇝ 0)
23		sinccvg 30821	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)):ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) ⇝ 0) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))) ⇝ 1)
24	18, 22, 23	sylancr 694	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))) ⇝ 1)
25	16, 24	eqbrtrrd 4607	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))) ⇝ 1)
26		2re 10967	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
27	26, 19	remulcli 9933	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
28		circum.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ
29	27, 28	remulcli 9933	. . . . . 6 ⊢ ((2 · π) · 𝑅) ∈ ℝ
30	29	recni 9931	. . . . 5 ⊢ ((2 · π) · 𝑅) ∈ ℂ
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 · π) · 𝑅) ∈ ℂ)
32		circum.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((2 · 𝑛) · (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
33		nnex 10903	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
34	33	mptex 6390	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((2 · 𝑛) · (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2))))) ∈ V
35	32, 34	eqeltri 2684	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ V
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝑃 ∈ V)
37		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦))
38		eldifi 3694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℝ)
39	38	resincld 14712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
40		eldifsni 4261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
41	39, 38, 40	redivcld 10732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) → ((sin‘𝑦) / 𝑦) ∈ ℝ)
42	37, 41	fmpti 6291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)):(ℝ ∖ {0})⟶ℝ
43		fco 5971	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)):(ℝ ∖ {0})⟶ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)):ℕ⟶(ℝ ∖ {0})) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ)
44	42, 18, 43	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ
45	16	trud 1484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))
46	45	feq1i 5949	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ)
47	44, 46	mpbi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ
48	47	ffvelrni 6266	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) ∈ ℝ)
49	48	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) ∈ ℝ)
50	49	recnd 9947	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
51	26	recni 9931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
53	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → π ∈ ℂ)
54		nncn 10905	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
55	54	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
56		nnne0 10930	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
57	56	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
58	52, 53, 55, 57	divassd 10715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · π) / 𝑘) = (2 · (π / 𝑘)))
59	58	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · π) / 𝑘) / 2) = ((2 · (π / 𝑘)) / 2))
60		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
61		nndivre 10933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ∈ ℝ)
62	19, 60, 61	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ∈ ℝ)
63	62	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ∈ ℂ)
64		2ne0 10990	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
66	63, 52, 65	divcan3d 10685	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · (π / 𝑘)) / 2) = (π / 𝑘))
67	59, 66	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · π) / 𝑘) / 2) = (π / 𝑘))
68	67	fveq2d 6107	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)) = (sin‘(π / 𝑘)))
69	62	resincld 14712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(π / 𝑘)) ∈ ℝ)
70	69	recnd 9947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(π / 𝑘)) ∈ ℂ)
71		nnrp 11718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
72	71	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ+)
73		rpdivcl 11732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((π ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℝ+) → (π / 𝑘) ∈ ℝ+)
74	3, 72, 73	sylancr 694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ∈ ℝ+)
75	74	rpne0d 11753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ≠ 0)
76	70, 63, 75	divcan2d 10682	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((π / 𝑘) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))) = (sin‘(π / 𝑘)))
77	68, 76	eqtr4d 2647	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)) = ((π / 𝑘) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
78	77	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2))) = (𝑅 · ((π / 𝑘) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))))
79	28	recni 9931	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 ∈ ℂ
80	79	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℂ)
81		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (π / 𝑛) = (π / 𝑘))
82	81	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(π / 𝑛)) = (sin‘(π / 𝑘)))
83	82, 81	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)) = ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))
84		eqid 2610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))
85		ovex 6577	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)) ∈ V
86	83, 84, 85	fvmpt 6191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) = ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))
87	86	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) = ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))
88	87, 50	eqeltrrd 2689	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)) ∈ ℂ)
89	80, 63, 88	mulassd 9942	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (π / 𝑘)) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))) = (𝑅 · ((π / 𝑘) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))))
90	78, 89	eqtr4d 2647	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2))) = ((𝑅 · (π / 𝑘)) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
91	90	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))) = ((2 · 𝑘) · ((𝑅 · (π / 𝑘)) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))))
92		mulcl 9899	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
93	51, 55, 92	sylancr 694	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
94		mulcl 9899	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℂ ∧ (π / 𝑘) ∈ ℂ) → (𝑅 · (π / 𝑘)) ∈ ℂ)
95	79, 63, 94	sylancr 694	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅 · (π / 𝑘)) ∈ ℂ)
96	93, 95, 88	mulassd 9942	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑘) · (𝑅 · (π / 𝑘))) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))) = ((2 · 𝑘) · ((𝑅 · (π / 𝑘)) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))))
97	52, 55, 80, 63	mul4d 10127	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (π / 𝑘))) = ((2 · 𝑅) · (𝑘 · (π / 𝑘))))
98	53, 55, 57	divcan2d 10682	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (π / 𝑘)) = π)
99	98	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑅) · (𝑘 · (π / 𝑘))) = ((2 · 𝑅) · π))
100	52, 80, 53	mul32d 10125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑅) · π) = ((2 · π) · 𝑅))
101	99, 100	eqtrd 2644	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑅) · (𝑘 · (π / 𝑘))) = ((2 · π) · 𝑅))
102	97, 101	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (π / 𝑘))) = ((2 · π) · 𝑅))
103	102	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑘) · (𝑅 · (π / 𝑘))) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))) = (((2 · π) · 𝑅) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
104	91, 96, 103	3eqtr2d 2650	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))) = (((2 · π) · 𝑅) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
105		oveq2 6557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
106		circum.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = ((2 · π) / 𝑛)
107		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((2 · π) / 𝑛) = ((2 · π) / 𝑘))
108	106, 107	syl5eq 2656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝐴 = ((2 · π) / 𝑘))
109	108	oveq1d 6564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 / 2) = (((2 · π) / 𝑘) / 2))
110	109	fveq2d 6107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝐴 / 2)) = (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))
111	110	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2))) = (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2))))
112	105, 111	oveq12d 6567	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) · (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))))
113		ovex 6577	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))) ∈ V
114	112, 32, 113	fvmpt 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑃‘𝑘) = ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))))
115	114	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) = ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))))
116	87	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · π) · 𝑅) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘)) = (((2 · π) · 𝑅) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
117	104, 115, 116	3eqtr4d 2654	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) = (((2 · π) · 𝑅) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘)))
118	1, 2, 25, 31, 36, 50, 117	climmulc2 14215	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑃 ⇝ (((2 · π) · 𝑅) · 1))
119	118	trud 1484	. 2 ⊢ 𝑃 ⇝ (((2 · π) · 𝑅) · 1)
120	30	mulid1i 9921	. 2 ⊢ (((2 · π) · 𝑅) · 1) = ((2 · π) · 𝑅)
121	119, 120	breqtri 4608	1 ⊢ 𝑃 ⇝ ((2 · π) · 𝑅)

Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1475  ⊤wtru 1476   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537  {csn 4125   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   ∘ ccom 5042  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℝ⁺crp 11708   ⇝ cli 14063  sincsin 14633  πcpi 14636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437

This theorem is referenced by: (None)