Theorem mul32d 10125

Description: Commutative/associative law that swaps the last two factors in a triple product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
muld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
addcomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
addcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mul32d	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))

Proof of Theorem mul32d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		addcomd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		addcand.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		mul32 10082	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1318	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   · cmul 9820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-mulcom 9879  ax-mulass 9881

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-iota 5768  df-fv 5812  df-ov 6552

This theorem is referenced by:  conjmul  10621  modmul1  12585  binom3  12847  bernneq  12852  expmulnbnd  12858  discr  12863  bcm1k  12964  bcp1n  12965  reccn2  14175  binomlem  14400  binomfallfaclem2  14610  tanadd  14736  eirrlem  14771  dvds2ln  14852  bezoutlem4  15097  divgcdcoprm0  15217  modprm0  15348  nrginvrcnlem  22305  tchcphlem2  22843  csbren  22990  radcnvlem1  23971  tanarg  24169  cxpeq  24298  quad2  24366  binom4  24377  dquartlem2  24379  dquart  24380  quart1lem  24382  dvatan  24462  log2cnv  24471  basellem8  24614  bcmono  24802  gausslemma2d  24899  lgsquadlem1  24905  2lgslem3b  24922  2lgslem3c  24923  2lgslem3d  24924  rplogsumlem1  24973  dchrisumlem2  24979  chpdifbndlem1  25042  selberg3lem1  25046  selberg4  25050  selberg3r  25058  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem3  25068  pntrlog2bndlem5  25070  pntlemf  25094  pntlemo  25096  ostth2lem1  25107  ostth2lem3  25124  circum  30822  jm2.25  36584  jm2.27c  36592  binomcxplemnotnn0  37577  dvasinbx  38810  stirlinglem3  38969  dirkercncflem2  38997  cevathlem1  39705