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Theorem lgseisenlem1 24900
Description: Lemma for lgseisen 24904. If 𝑅(𝑢) = (𝑄 · 𝑢) mod 𝑃 and 𝑀(𝑢) = (-1↑𝑅(𝑢)) · 𝑅(𝑢), then for any even 1 ≤ 𝑢𝑃 − 1, 𝑀(𝑢) is also an even integer 1 ≤ 𝑀(𝑢) ≤ 𝑃 − 1. To simplify these statements, we divide all the even numbers by 2, so that it becomes the statement that 𝑀(𝑥 / 2) = (-1↑𝑅(𝑥 / 2)) · 𝑅(𝑥 / 2) / 2 is an integer between 1 and (𝑃 − 1) / 2. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.2 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.3 (𝜑𝑃𝑄)
lgseisen.4 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)
lgseisen.5 𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
Assertion
Ref Expression
lgseisenlem1 (𝜑𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥   𝑥,𝑄
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem lgseisenlem1
StepHypRef Expression
1 neg1cn 11001 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ ℂ
21a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → -1 ∈ ℂ)
3 neg1ne0 11003 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ≠ 0
43a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → -1 ≠ 0)
5 2z 11286 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
65a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈ ℤ)
7 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (𝑅 / 2) ∈ ℤ)
8 expmulz 12768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ)) → (-1↑(2 · (𝑅 / 2))) = ((-1↑2)↑(𝑅 / 2)))
92, 4, 6, 7, 8syl22anc 1319 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (-1↑(2 · (𝑅 / 2))) = ((-1↑2)↑(𝑅 / 2)))
10 lgseisen.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)
11 lgseisen.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
1211adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
1312eldifad 3552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℙ)
14 prmz 15227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℤ)
16 elfzelz 12213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℤ)
1716adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℤ)
18 zmulcl 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (2 · 𝑥) ∈ ℤ)
195, 17, 18sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℤ)
2015, 19zmulcld 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ)
21 lgseisen.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2322eldifad 3552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℙ)
24 prmnn 15226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℕ)
26 zmodfz 12554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
2720, 25, 26syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
2810, 27syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)))
29 elfznn0 12302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈ ℕ0)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℕ0)
3130nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℤ)
3231zcnd 11359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℂ)
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℂ)
34 2cnd 10970 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
35 2ne0 10990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ≠ 0
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
3733, 34, 36divcan2d 10682 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (2 · (𝑅 / 2)) = 𝑅)
3837oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (-1↑(2 · (𝑅 / 2))) = (-1↑𝑅))
39 neg1sqe1 12821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1↑2) = 1
4039oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-1↑2)↑(𝑅 / 2)) = (1↑(𝑅 / 2))
41 1exp 12751 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 / 2) ∈ ℤ → (1↑(𝑅 / 2)) = 1)
4241adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (1↑(𝑅 / 2)) = 1)
4340, 42syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → ((-1↑2)↑(𝑅 / 2)) = 1)
449, 38, 433eqtr3d 2652 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (-1↑𝑅) = 1)
4544oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) = (1 · 𝑅))
4633mulid2d 9937 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (1 · 𝑅) = 𝑅)
4745, 46eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) = 𝑅)
4847oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = (𝑅 mod 𝑃))
4930nn0red 11229 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℝ)
5025nnrpd 11746 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℝ+)
5130nn0ge0d 11231 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 ≤ 𝑅)
5220zred 11358 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ)
53 modlt 12541 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) < 𝑃)
5452, 50, 53syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) < 𝑃)
5510, 54syl5eqbr 4618 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 < 𝑃)
56 modid 12557 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑅𝑅 < 𝑃)) → (𝑅 mod 𝑃) = 𝑅)
5749, 50, 51, 55, 56syl22anc 1319 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑅 mod 𝑃) = 𝑅)
5857adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (𝑅 mod 𝑃) = 𝑅)
5948, 58eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 𝑅)
6059oveq1d 6564 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) = (𝑅 / 2))
6160, 7eqeltrd 2688 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ (𝑅 / 2) ∈ ℤ) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℤ)
6225nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℂ)
6362mulid2d 9937 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1 · 𝑃) = 𝑃)
6463oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-𝑅 + (1 · 𝑃)) = (-𝑅 + 𝑃))
6549renegcld 10336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -𝑅 ∈ ℝ)
6665recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -𝑅 ∈ ℂ)
6762, 66addcomd 10117 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 + -𝑅) = (-𝑅 + 𝑃))
6862, 32negsubd 10277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 + -𝑅) = (𝑃𝑅))
6964, 67, 683eqtr2d 2650 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-𝑅 + (1 · 𝑃)) = (𝑃𝑅))
7069oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-𝑅 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = ((𝑃𝑅) mod 𝑃))
71 1zzd 11285 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 1 ∈ ℤ)
72 modcyc 12567 . . . . . . . . . . . . 13 ((-𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((-𝑅 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = (-𝑅 mod 𝑃))
7365, 50, 71, 72syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-𝑅 + (1 · 𝑃)) mod 𝑃) = (-𝑅 mod 𝑃))
7425nnred 10912 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℝ)
7574, 49resubcld 10337 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃𝑅) ∈ ℝ)
7649, 74, 55ltled 10064 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅𝑃)
7774, 49subge0d 10496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (0 ≤ (𝑃𝑅) ↔ 𝑅𝑃))
7876, 77mpbird 246 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 ≤ (𝑃𝑅))
79 2nn 11062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℕ
80 elfznn 12241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℕ)
8180adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℕ)
82 nnmulcl 10920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ)
8379, 81, 82sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ)
84 elfzle2 12216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
8584adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
8681nnred 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℝ)
87 prmuz2 15246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
88 uz2m1nn 11639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
8923, 87, 883syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
9089nnred 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
91 2re 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℝ
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ∈ ℝ)
93 2pos 10989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 < 2
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 < 2)
95 lemuldiv2 10783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
9686, 90, 92, 94, 95syl112anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
9785, 96mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1))
98 prmz 15227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
9923, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℤ)
100 peano2zm 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
101 fznn 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃 − 1) ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ ((2 · 𝑥) ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1))))
10299, 100, 1013syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ ((2 · 𝑥) ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1))))
10383, 97, 102mpbir2and 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
104 fzm1ndvds 14882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (2 · 𝑥))
10525, 103, 104syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ (2 · 𝑥))
106 lgseisen.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑𝑃𝑄)
107106adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃𝑄)
108 prmrp 15262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑃 gcd 𝑄) = 1 ↔ 𝑃𝑄))
10923, 13, 108syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 gcd 𝑄) = 1 ↔ 𝑃𝑄))
110107, 109mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 gcd 𝑄) = 1)
111 coprmdvds 15204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∧ (𝑃 gcd 𝑄) = 1) → 𝑃 ∥ (2 · 𝑥)))
11299, 15, 19, 111syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∧ (𝑃 gcd 𝑄) = 1) → 𝑃 ∥ (2 · 𝑥)))
113110, 112mpan2d 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) → 𝑃 ∥ (2 · 𝑥)))
114105, 113mtod 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)))
115 dvdsval3 14825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ↔ ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = 0))
11625, 20, 115syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (2 · 𝑥)) ↔ ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = 0))
117114, 116mtbid 313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = 0)
11810eqeq1i 2615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 = 0 ↔ ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = 0)
119117, 118sylnibr 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑅 = 0)
12089nnnn0d 11228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
121 nn0uz 11598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 = (ℤ‘0)
122120, 121syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘0))
123 elfzp12 12288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘0) → (𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))))
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))))
12528, 124mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑅 = 0 ∨ 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1))))
126125ord 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (¬ 𝑅 = 0 → 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1))))
127119, 126mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ((0 + 1)...(𝑃 − 1)))
128 1e0p1 11428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 = (0 + 1)
129128oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1...(𝑃 − 1)) = ((0 + 1)...(𝑃 − 1))
130127, 129syl6eleqr 2699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
131 elfznn 12241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈ ℕ)
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℕ)
133132nnrpd 11746 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℝ+)
13474, 133ltsubrpd 11780 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃𝑅) < 𝑃)
135 modid 12557 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑃𝑅) ∧ (𝑃𝑅) < 𝑃)) → ((𝑃𝑅) mod 𝑃) = (𝑃𝑅))
13675, 50, 78, 134, 135syl22anc 1319 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃𝑅) mod 𝑃) = (𝑃𝑅))
13770, 73, 1363eqtr3d 2652 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-𝑅 mod 𝑃) = (𝑃𝑅))
138137adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (-𝑅 mod 𝑃) = (𝑃𝑅))
139 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℂ
140139a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
141132adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℕ)
1425a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ∈ ℤ)
14335a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ≠ 0)
14431peano2zd 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑅 + 1) ∈ ℤ)
145 dvdsval2 14824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ (𝑅 + 1) ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑅 + 1) ↔ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ))
146142, 143, 144, 145syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 ∥ (𝑅 + 1) ↔ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ))
147146biimpar 501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ∥ (𝑅 + 1))
14831adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℤ)
14979a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈ ℕ)
150 1lt2 11071 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 < 2
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 1 < 2)
152 ndvdsp1 14973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → (2 ∥ 𝑅 → ¬ 2 ∥ (𝑅 + 1)))
153148, 149, 151, 152syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑅 → ¬ 2 ∥ (𝑅 + 1)))
154147, 153mt2d 130 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ¬ 2 ∥ 𝑅)
155 oexpneg 14907 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑅) → (-1↑𝑅) = -(1↑𝑅))
156140, 141, 154, 155syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (-1↑𝑅) = -(1↑𝑅))
157 1exp 12751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ ℤ → (1↑𝑅) = 1)
158148, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (1↑𝑅) = 1)
159158negeqd 10154 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → -(1↑𝑅) = -1)
160156, 159eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (-1↑𝑅) = -1)
161160oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) = (-1 · 𝑅))
16232adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ ℂ)
163162mulm1d 10361 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (-1 · 𝑅) = -𝑅)
164161, 163eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) = -𝑅)
165164oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = (-𝑅 mod 𝑃))
16662adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 𝑃 ∈ ℂ)
167166, 162, 140pnpcan2d 10309 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 + 1) − (𝑅 + 1)) = (𝑃𝑅))
168138, 165, 1673eqtr4d 2654 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = ((𝑃 + 1) − (𝑅 + 1)))
169168oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) = (((𝑃 + 1) − (𝑅 + 1)) / 2))
170 peano2cn 10087 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 + 1) ∈ ℂ)
171166, 170syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑃 + 1) ∈ ℂ)
172 peano2cn 10087 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℂ → (𝑅 + 1) ∈ ℂ)
173162, 172syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑅 + 1) ∈ ℂ)
174 2cnd 10970 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
17535a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
176171, 173, 174, 175divsubdird 10719 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 + 1) − (𝑅 + 1)) / 2) = (((𝑃 + 1) / 2) − ((𝑅 + 1) / 2)))
177169, 176eqtrd 2644 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) = (((𝑃 + 1) / 2) − ((𝑅 + 1) / 2)))
178166, 140, 174subadd23d 10293 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) + 2) = (𝑃 + (2 − 1)))
179 2m1e1 11012 . . . . . . . . . . . . 13 (2 − 1) = 1
180179oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 + (2 − 1)) = (𝑃 + 1)
181178, 180syl6req 2661 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑃 + 1) = ((𝑃 − 1) + 2))
182181oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 + 1) / 2) = (((𝑃 − 1) + 2) / 2))
18389nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
184183adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
185184, 174, 174, 175divdird 10718 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) + 2) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) + (2 / 2)))
186 2div2e1 11027 . . . . . . . . . . . 12 (2 / 2) = 1
187186oveq2i 6560 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 − 1) / 2) + (2 / 2)) = (((𝑃 − 1) / 2) + 1)
188185, 187syl6eq 2660 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) + 2) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) + 1))
189182, 188eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 + 1) / 2) = (((𝑃 − 1) / 2) + 1))
190 oddprm 15353 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
19122, 190syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
192191nnzd 11357 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
193192adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
194193peano2zd 11361 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 − 1) / 2) + 1) ∈ ℤ)
195189, 194eqeltrd 2688 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 + 1) / 2) ∈ ℤ)
196 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ)
197195, 196zsubcld 11363 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑃 + 1) / 2) − ((𝑅 + 1) / 2)) ∈ ℤ)
198177, 197eqeltrd 2688 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) ∧ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℤ)
199 zeo 11339 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℤ → ((𝑅 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ))
20031, 199syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑅 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑅 + 1) / 2) ∈ ℤ))
20161, 198, 200mpjaodan 823 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℤ)
202 m1expcl 12745 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℤ → (-1↑𝑅) ∈ ℤ)
20331, 202syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ∈ ℤ)
204203, 31zmulcld 11364 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℤ)
205204, 25zmodcld 12553 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
206205nn0red 11229 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℝ)
207 fzm1ndvds 14882 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃𝑅)
20825, 130, 207syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃𝑅)
209 ax-1ne0 9884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ≠ 0
210 divneg2 10628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ≠ 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
211139, 139, 209, 210mp3an 1416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -(1 / 1) = (1 / -1)
212 1div1e1 10596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 / 1) = 1
213212negeqi 10153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -(1 / 1) = -1
214211, 213eqtr3i 2634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 / -1) = -1
215214oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 / -1)↑𝑅) = (-1↑𝑅)
2161a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -1 ∈ ℂ)
2173a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → -1 ≠ 0)
218216, 217, 31exprecd 12878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((1 / -1)↑𝑅) = (1 / (-1↑𝑅)))
219215, 218syl5eqr 2658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) = (1 / (-1↑𝑅)))
220219oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) = ((-1↑𝑅) · (1 / (-1↑𝑅))))
221203zcnd 11359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ∈ ℂ)
222216, 217, 31expne0d 12876 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ≠ 0)
223221, 222recidd 10675 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · (1 / (-1↑𝑅))) = 1)
224220, 223eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) = 1)
225224oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) · 𝑅) = (1 · 𝑅))
226221, 221, 32mulassd 9942 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) · 𝑅) = ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅)))
22732mulid2d 9937 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (1 · 𝑅) = 𝑅)
228225, 226, 2273eqtr3d 2652 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅)) = 𝑅)
229228breq2d 4595 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅)) ↔ 𝑃𝑅))
230208, 229mtbird 314 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅)))
231 dvdsmultr2 14859 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (-1↑𝑅) ∈ ℤ ∧ ((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅) → 𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅))))
23299, 203, 204, 231syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅) → 𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · 𝑅))))
233230, 232mtod 188 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅))
234 dvdsval3 14825 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅) ↔ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0))
23525, 204, 234syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · 𝑅) ↔ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0))
236233, 235mtbid 313 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0)
237 elnn0 11171 . . . . . . . . . 10 ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ0 ↔ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ ∨ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0))
238205, 237sylib 207 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ ∨ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0))
239238ord 391 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (¬ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = 0))
240236, 239mt3d 139 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ)
241240nngt0d 10941 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 < (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃))
242206, 92, 241, 94divgt0d 10838 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 < ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
243 elnnz 11264 . . . . 5 (((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℕ ↔ (((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)))
244201, 242, 243sylanbrc 695 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℕ)
245244nnge1d 10940 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 1 ≤ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
246 zmodfz 12554 . . . . . 6 ((((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
247204, 25, 246syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1)))
248 elfzle2 12216 . . . . 5 ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ (0...(𝑃 − 1)) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ≤ (𝑃 − 1))
249247, 248syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ≤ (𝑃 − 1))
250 lediv1 10767 . . . . 5 (((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ≤ (𝑃 − 1) ↔ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
251206, 90, 92, 94, 250syl112anc 1322 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ≤ (𝑃 − 1) ↔ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
252249, 251mpbid 221 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
253 elfz 12203 . . . 4 ((((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ) → (((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (1 ≤ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∧ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
254201, 71, 192, 253syl3anc 1318 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (1 ≤ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∧ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
255245, 252, 254mpbir2and 959 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
256 lgseisen.5 . 2 𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
257255, 256fmptd 6292 1 (𝜑𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  cdif 3537  {csn 4125   class class class wbr 4583  cmpt 4643  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  cn 10897  2c2 10947  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  +crp 11708  ...cfz 12197   mod cmo 12530  cexp 12722  cdvds 14821   gcd cgcd 15054  cprime 15223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224
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