Theorem elfzelz 12213

Description: A member of a finite set of sequential integer is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzelz	⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Proof of Theorem elfzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 12209	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eluzelz 11573	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198

This theorem is referenced by:  fzssz  12214  elfz1eq  12223  fzsplit2  12237  fzdisj  12239  elfznn  12241  fznatpl1  12265  fzrev2i  12275  fzrev3i  12277  fznuz  12291  fzrevral  12294  fzshftral  12297  fznn0sub2  12315  elfzmlbm  12318  difelfznle  12322  predfz  12333  fzosplit  12370  fz1fzo0m1  12383  sermono  12695  seqf1olem1  12702  seqf1olem2  12703  bcval2  12954  bcval4  12956  bccmpl  12958  bcp1nk  12966  bcval5  12967  bcpasc  12970  bccl2  12972  seqcoll  13105  seqcoll2  13106  swrdval2  13272  swrd0val  13273  addlenrevswrd  13289  swrd0fv  13291  ccatswrd  13308  swrdswrd  13312  swrdswrd0  13314  swrdccatin12lem2a  13336  swrdccatin12lem2b  13337  swrdccatin2  13338  swrdccatin12  13342  spllen  13356  splfv1  13357  cshwidxm  13405  cshwidxn  13406  lswcshw  13412  2cshwcshw  13422  cshwcshid  13424  cshwcsh2id  13425  seqshft  13673  sumrblem  14289  summolem2a  14293  fsum0diaglem  14350  mptfzshft  14352  fsumrev  14353  fsumshftm  14355  fsum0diag2  14357  binomlem  14400  binom11  14403  bcxmas  14406  arisum  14431  geo2sum  14443  mertenslem1  14455  prodfn0  14465  prodrblem  14498  prodmolem2a  14503  fprodntriv  14511  fprodser  14518  fprod1p  14537  fprodrev  14546  fallfacval3  14582  fallfacfwd  14606  0fallfac  14607  binomfallfaclem1  14609  binomfallfaclem2  14610  binomrisefac  14612  fallfacval4  14613  bpolycl  14622  bpolysum  14623  bpolydiflem  14624  fsumkthpow  14626  bpoly4  14629  fzm1ndvds  14882  pwp1fsum  14952  prmdvdsfz  15255  isprm7  15258  hashdvds  15318  phiprmpw  15319  prmdiveq  15329  prmdivdiv  15330  modprminv  15342  modprminveq  15343  modprm0  15348  4sqlem11  15497  4sqlem12  15498  vdwapun  15516  prmop1  15580  prmdvdsprmo  15584  prmdvdsprmop  15585  prmgaplem1  15591  prmgaplem2  15592  prmgaplcmlem1  15593  prmgaplcmlem2  15594  prmgapprmo  15604  cshwshashlem1  15640  cshwshashlem2  15641  dfod2  17804  efgredleme  17979  efgredlemc  17981  efgredlemb  17982  gsummptshft  18159  srgbinomlem3  18365  srgbinomlem4  18366  srgbinomlem  18367  chpscmatgsummon  20469  cayhamlem1  20490  iscmet3  22899  mbfi1fseqlem4  23291  itgz  23353  itgcl  23356  ibl0  23359  iblss  23377  iblss2  23378  itgss  23384  itgeqa  23386  iblconst  23390  iblabsr  23402  iblmulc2  23403  itgsplit  23408  dvfsumlem3  23595  plyeq0lem  23770  aalioulem1  23891  cxpeq  24298  birthdaylem2  24479  wilthlem1  24594  wilthlem2  24595  wilthlem3  24596  ftalem5  24603  basellem3  24609  basellem4  24610  dvdsppwf1o  24712  dvdsflf1o  24713  musum  24717  ppiub  24729  chtublem  24736  mersenne  24752  bposlem1  24809  lgsval2lem  24832  lgsdilem2  24858  lgsqrlem2  24872  lgsqrlem4  24874  gausslemma2dlem1a  24890  gausslemma2dlem1  24891  gausslemma2dlem3  24893  gausslemma2dlem4  24894  gausslemma2dlem5a  24895  gausslemma2dlem5  24896  gausslemma2dlem6  24897  lgseisenlem1  24900  lgseisenlem2  24901  lgseisenlem3  24902  lgsquadlem1  24905  lgsquadlem2  24906  lgsquadlem3  24907  2lgslem1a1  24914  2lgslem1a  24916  2lgslem1b  24917  rpvmasumlem  24976  dchrisumlem1  24978  dchrisumlem2  24979  dchrmusum2  24983  dchrvmasumlem1  24984  dchrvmasum2lem  24985  dchrvmasum2if  24986  dchrvmasumlem3  24988  dchrvmasumiflem1  24990  dchrvmasumiflem2  24991  dchrisum0flblem1  24997  rpvmasum2  25001  dchrisum0lem1b  25004  dchrisum0lem1  25005  dchrisum0lem2a  25006  dchrisum0lem2  25007  dchrisum0lem3  25008  dchrmusumlem  25011  dchrvmasumlem  25012  logdivbnd  25045  pntpbnd1  25075  pntlemh  25088  pntlemj  25092  pntlemf  25094  ostth2lem2  25123  axlowdimlem13  25634  axlowdimlem14  25635  axlowdimlem16  25637  fargshiftfo  26166  clwwnisshclwwn  26337  erclwwlkeqlen  26340  eleclclwwlknlem2  26346  erclwwlkneqlen  26352  clwlkfclwwlk  26371  fzsplit3  28940  bcm1n  28941  ballotlemfc0  29881  ballotlemfcc  29882  ballotlemodife  29886  ballotlemimin  29894  ballotlemsgt1  29899  ballotlemsel1i  29901  ballotlemsf1o  29902  ballotlemsi  29903  ballotlemsima  29904  ballotlemfg  29914  ballotlemfrc  29915  ballotlemfrceq  29917  ballotlemfrcn0  29918  ballotlemirc  29920  ballotlem1ri  29923  erdszelem8  30434  erdszelem9  30435  cvmliftlem7  30527  supfz  30866  inffz  30867  inffzOLD  30868  bcprod  30877  fwddifnp1  31442  poimirlem1  32580  poimirlem2  32581  poimirlem7  32586  poimirlem14  32593  poimirlem15  32594  poimirlem16  32595  poimirlem17  32596  poimirlem19  32598  poimirlem20  32599  poimirlem23  32602  poimirlem24  32603  poimirlem27  32606  poimirlem28  32607  poimirlem31  32610  poimirlem32  32611  mblfinlem2  32617  iblmulc2nc  32645  fdc  32711  irrapxlem1  36404  irrapxlem2  36405  irrapxlem3  36406  pellexlem5  36415  acongrep  36565  fzmaxdif  36566  acongeq  36568  jm2.22  36580  jm2.23  36581  jm2.26lem3  36586  jm2.26  36587  jm2.27dlem2  36595  hashnzfz  37541  monoords  38452  elfzelzd  38471  fmul01lt1lem1  38651  fmul01lt1lem2  38652  sumnnodd  38697  dvnmul  38833  dvnprodlem2  38837  iblsplit  38858  iblspltprt  38865  itgspltprt  38871  stoweidlem3  38896  stoweidlem11  38904  stoweidlem20  38913  stoweidlem26  38919  stoweidlem34  38927  stoweidlem59  38952  stirlinglem10  38976  dirkertrigeqlem1  38991  dirkertrigeqlem2  38992  dirkertrigeqlem3  38993  dirkertrigeq  38994  dirkeritg  38995  fourierdlem11  39011  fourierdlem12  39012  fourierdlem15  39015  fourierdlem34  39034  fourierdlem41  39041  fourierdlem46  39045  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem50  39049  fourierdlem54  39053  fourierdlem63  39062  fourierdlem64  39063  fourierdlem65  39064  fourierdlem79  39078  fourierdlem102  39101  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierdlem114  39113  elaa2lem  39126  etransclem4  39131  etransclem7  39134  etransclem8  39135  etransclem17  39144  etransclem18  39145  etransclem20  39147  etransclem23  39150  etransclem27  39154  etransclem31  39158  etransclem32  39159  etransclem35  39162  etransclem41  39168  etransclem46  39173  etransclem48  39175  iundjiun  39353  caratheodorylem1  39416  el1fzopredsuc  39948  iccpartgtprec  39958  iccpartiltu  39960  iccpartgt  39965  iccpartnel  39976  addlenrevpfx  40260  ccatpfx  40272  pfxccatin12lem1  40286  pfxccatin12lem2  40287  pfxccatin12  40288  2elfz2melfz  40355  elfzelfzlble  40358  crctcshlem4  41023  crctcsh1wlkn0  41024  clwwnisshclwwsn  41237  erclwwlkseqlen  41240  eleclclwwlksnlem2  41246  erclwwlksneqlen  41252  clwlksfclwwlk  41269  altgsumbc  41923  altgsumbcALT  41924  nn0sumshdiglemA  42211  nn0sumshdiglemB  42212