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Theorem mersenne 24752
Description: A Mersenne prime is a prime number of the form 2↑𝑃 − 1. This theorem shows that the 𝑃 in this expression is necessarily also prime. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mersenne ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)

Proof of Theorem mersenne
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . 3 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℤ)
2 2nn0 11186 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
32numexp1 15619 . . . . . 6 (2↑1) = 2
4 df-2 10956 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
53, 4eqtri 2632 . . . . 5 (2↑1) = (1 + 1)
6 prmuz2 15246 . . . . . . . 8 (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ‘2))
76adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ‘2))
8 eluz2b2 11637 . . . . . . . 8 (((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((2↑𝑃) − 1)))
98simprbi 479 . . . . . . 7 (((2↑𝑃) − 1) ∈ (ℤ‘2) → 1 < ((2↑𝑃) − 1))
107, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < ((2↑𝑃) − 1))
11 1red 9934 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 ∈ ℝ)
12 2re 10967 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 2 ∈ ℝ)
14 2ne0 10990 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
1514a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 2 ≠ 0)
1613, 15, 1reexpclzd 12896 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑𝑃) ∈ ℝ)
1711, 11, 16ltaddsubd 10506 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ((1 + 1) < (2↑𝑃) ↔ 1 < ((2↑𝑃) − 1)))
1810, 17mpbird 246 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 + 1) < (2↑𝑃))
195, 18syl5eqbr 4618 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (2↑1) < (2↑𝑃))
20 1zzd 11285 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 ∈ ℤ)
21 1lt2 11071 . . . . . 6 1 < 2
2221a1i 11 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < 2)
2313, 20, 1, 22ltexp2d 12900 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (1 < 𝑃 ↔ (2↑1) < (2↑𝑃)))
2419, 23mpbird 246 . . 3 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 1 < 𝑃)
25 eluz2b1 11635 . . 3 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑃))
261, 24, 25sylanbrc 695 . 2 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
27 simpllr 795 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ)
28 prmnn 15226 . . . . . . . 8 (((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ)
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℕ)
3029nncnd 10913 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℂ)
31 2nn 11062 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
32 elfzuz 12209 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ‘2))
3332ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ∈ (ℤ‘2))
34 eluz2nn 11602 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 𝑘 ∈ ℕ)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ∈ ℕ)
3635nnnn0d 11228 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ∈ ℕ0)
37 nnexpcl 12735 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
3831, 36, 37sylancr 694 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
3938nnzd 11357 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℤ)
40 peano2zm 11297 . . . . . . . . 9 ((2↑𝑘) ∈ ℤ → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ)
4241zred 11358 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℝ)
4342recnd 9947 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℂ)
44 0red 9920 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 0 ∈ ℝ)
45 1red 9934 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 ∈ ℝ)
46 0lt1 10429 . . . . . . . . . 10 0 < 1
4746a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 0 < 1)
48 eluz2b2 11637 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑘))
4948simprbi 479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑘)
5033, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 < 𝑘)
5112a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 2 ∈ ℝ)
52 1zzd 11285 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 ∈ ℤ)
53 elfzelz 12213 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
5453ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ∈ ℤ)
5521a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 < 2)
5651, 52, 54, 55ltexp2d 12900 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (1 < 𝑘 ↔ (2↑1) < (2↑𝑘)))
5750, 56mpbid 221 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑1) < (2↑𝑘))
585, 57syl5eqbrr 4619 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (1 + 1) < (2↑𝑘))
5938nnred 10912 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℝ)
6045, 45, 59ltaddsubd 10506 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((1 + 1) < (2↑𝑘) ↔ 1 < ((2↑𝑘) − 1)))
6158, 60mpbid 221 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 < ((2↑𝑘) − 1))
6244, 45, 42, 47, 61lttrd 10077 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 0 < ((2↑𝑘) − 1))
63 elnnz 11264 . . . . . . . 8 (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ ↔ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((2↑𝑘) − 1)))
6441, 62, 63sylanbrc 695 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ)
6564nnne0d 10942 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ≠ 0)
6630, 43, 65divcan2d 10682 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) = ((2↑𝑃) − 1))
6766, 27eqeltrd 2688 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
68 eluz2b2 11637 . . . . . 6 (((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((2↑𝑘) − 1)))
6964, 61, 68sylanbrc 695 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ‘2))
7038nncnd 10913 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
71 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
72 subeq0 10186 . . . . . . . . . . . 12 (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2↑𝑘) − 1) = 0 ↔ (2↑𝑘) = 1))
7370, 71, 72sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) = 0 ↔ (2↑𝑘) = 1))
7473necon3bid 2826 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑘) − 1) ≠ 0 ↔ (2↑𝑘) ≠ 1))
7565, 74mpbid 221 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) ≠ 1)
76 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘𝑃)
77 eluz2nn 11602 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
7826, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
7978ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)
80 nndivdvds 14827 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ))
8179, 35, 80syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (𝑘𝑃 ↔ (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ))
8276, 81mpbid 221 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ)
8382nnnn0d 11228 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (𝑃 / 𝑘) ∈ ℕ0)
8470, 75, 83geoser 14438 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) = ((1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))) / (1 − (2↑𝑘))))
8516ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑃) ∈ ℝ)
8685recnd 9947 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑃) ∈ ℂ)
87 negsubdi2 10219 . . . . . . . . . . 11 (((2↑𝑃) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − (2↑𝑃)))
8886, 71, 87sylancl 693 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − (2↑𝑃)))
8979nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑃 ∈ ℂ)
9035nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ∈ ℂ)
9135nnne0d 10942 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 ≠ 0)
9289, 90, 91divcan2d 10682 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (𝑘 · (𝑃 / 𝑘)) = 𝑃)
9392oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑(𝑘 · (𝑃 / 𝑘))) = (2↑𝑃))
9451recnd 9947 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 2 ∈ ℂ)
9594, 83, 36expmuld 12873 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑(𝑘 · (𝑃 / 𝑘))) = ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘)))
9693, 95eqtr3d 2646 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑃) = ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘)))
9796oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (1 − (2↑𝑃)) = (1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))))
9888, 97eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → -((2↑𝑃) − 1) = (1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))))
99 negsubdi2 10219 . . . . . . . . . 10 (((2↑𝑘) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2↑𝑘) − 1) = (1 − (2↑𝑘)))
10070, 71, 99sylancl 693 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → -((2↑𝑘) − 1) = (1 − (2↑𝑘)))
10198, 100oveq12d 6567 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (-((2↑𝑃) − 1) / -((2↑𝑘) − 1)) = ((1 − ((2↑𝑘)↑(𝑃 / 𝑘))) / (1 − (2↑𝑘))))
10230, 43, 65div2negd 10695 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (-((2↑𝑃) − 1) / -((2↑𝑘) − 1)) = (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
10384, 101, 1023eqtr2d 2650 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) = (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
104 fzfid 12634 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (0...((𝑃 / 𝑘) − 1)) ∈ Fin)
105 elfznn0 12302 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
106 zexpcl 12737 . . . . . . . . 9 (((2↑𝑘) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
10739, 105, 106syl2an 493 . . . . . . . 8 (((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))) → ((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
108104, 107fsumzcl 14313 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑃 / 𝑘) − 1))((2↑𝑘)↑𝑛) ∈ ℤ)
109103, 108eqeltrrd 2689 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ)
11043mulid2d 9937 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (1 · ((2↑𝑘) − 1)) = ((2↑𝑘) − 1))
111 2z 11286 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
112 elfzm11 12280 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑃)))
113111, 1, 112sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → (𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑃)))
114113biimpa 500 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑃))
115114simp3d 1068 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → 𝑘 < 𝑃)
116115adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑘 < 𝑃)
1171ad2antrr 758 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
11851, 54, 117, 55ltexp2d 12900 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (𝑘 < 𝑃 ↔ (2↑𝑘) < (2↑𝑃)))
119116, 118mpbid 221 . . . . . . . . 9 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (2↑𝑘) < (2↑𝑃))
12059, 85, 45, 119ltsub1dd 10518 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑘) − 1) < ((2↑𝑃) − 1))
121110, 120eqbrtrd 4605 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1))
12229nnred 10912 . . . . . . . 8 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℝ)
123 ltmuldiv 10775 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℝ ∧ (((2↑𝑘) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2↑𝑘) − 1))) → ((1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1) ↔ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
12445, 122, 42, 62, 123syl112anc 1322 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ((1 · ((2↑𝑘) − 1)) < ((2↑𝑃) − 1) ↔ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
125121, 124mpbid 221 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)))
126 eluz2b1 11635 . . . . . 6 ((((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ ℤ ∧ 1 < (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))))
127109, 125, 126sylanbrc 695 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ‘2))
128 nprm 15239 . . . . 5 ((((2↑𝑘) − 1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1)) ∈ (ℤ‘2)) → ¬ (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
12969, 127, 128syl2anc 691 . . . 4 ((((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) ∧ 𝑘𝑃) → ¬ (((2↑𝑘) − 1) · (((2↑𝑃) − 1) / ((2↑𝑘) − 1))) ∈ ℙ)
13067, 129pm2.65da 598 . . 3 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑘𝑃)
131130ralrimiva 2949 . 2 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → ∀𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑘𝑃)
132 isprm3 15234 . 2 (𝑃 ∈ ℙ ↔ (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑘 ∈ (2...(𝑃 − 1)) ¬ 𝑘𝑃))
13326, 131, 132sylanbrc 695 1 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑃) − 1) ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  cn 10897  2c2 10947  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  ...cfz 12197  cexp 12722  Σcsu 14264  cdvds 14821  cprime 15223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-prm 15224
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