MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzelz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluzelz 11573
Description: A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluzelz (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzelz
StepHypRef Expression
1 eluz2 11569 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
21simp2bi 1070 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1977   class class class wbr 4583  cfv 5804  cle 9954  cz 11254  cuz 11563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564
This theorem is referenced by:  eluzelre  11574  uztrn  11580  uzneg  11582  uzss  11584  eluzp1l  11588  eluzaddi  11590  eluzsubi  11591  uzm1  11594  uzin  11596  uzind4  11622  uzwo  11627  uz2mulcl  11642  uzsupss  11656  elfz5  12205  elfzel2  12211  elfzelz  12213  eluzfz2  12220  peano2fzr  12225  fzsplit2  12237  fzopth  12249  ssfzunsn  12257  fzsuc  12258  uzsplit  12281  uzdisj  12282  fzm1  12289  uznfz  12292  nn0disj  12324  preduz  12330  elfzo3  12355  fzoss2  12365  fzouzsplit  12372  eluzgtdifelfzo  12397  fzosplitsnm1  12409  fzofzp1b  12432  elfzonelfzo  12436  fzosplitsn  12442  fzisfzounsn  12445  fldiv4lem1div2uz2  12499  m1modge3gt1  12579  modaddmodup  12595  om2uzlti  12611  om2uzf1oi  12614  uzrdgxfr  12628  fzen2  12630  seqfveq2  12685  seqfeq2  12686  seqshft2  12689  monoord  12693  monoord2  12694  sermono  12695  seqsplit  12696  seqf1olem1  12702  seqf1olem2  12703  seqid  12708  seqz  12711  leexp2a  12778  expnlbnd2  12857  expmulnbnd  12858  hashfz  13074  fzsdom2  13075  hashfzo  13076  hashfzp1  13078  seqcoll  13105  swrdfv2  13298  swrdccatin12  13342  rexuz3  13936  r19.2uz  13939  rexuzre  13940  cau4  13944  caubnd2  13945  clim  14073  climrlim2  14126  climshft2  14161  climaddc1  14213  climmulc2  14215  climsubc1  14216  climsubc2  14217  clim2ser  14233  clim2ser2  14234  iserex  14235  climlec2  14237  climub  14240  isercolllem2  14244  isercoll  14246  isercoll2  14247  climcau  14249  caurcvg2  14256  caucvgb  14258  serf0  14259  iseraltlem1  14260  iseraltlem2  14261  iseralt  14263  sumrblem  14289  fsumcvg  14290  summolem2a  14293  fsumcvg2  14305  fsumm1  14324  fzosump1  14325  fsump1  14329  fsumrev2  14356  telfsumo  14375  fsumparts  14379  isumsplit  14411  isumrpcl  14414  isumsup2  14417  cvgrat  14454  mertenslem1  14455  clim2div  14460  prodeq2ii  14482  fprodcvg  14499  prodmolem2a  14503  zprod  14506  fprodntriv  14511  fprodser  14518  fprodm1  14536  fprodp1  14538  fprodeq0  14544  isprm3  15234  nprm  15239  dvdsprm  15253  exprmfct  15254  isprm5  15257  maxprmfct  15259  ncoprmlnprm  15274  phibndlem  15313  dfphi2  15317  hashdvds  15318  pcaddlem  15430  pcfac  15441  expnprm  15444  prmreclem4  15461  vdwlem8  15530  gsumval2a  17102  efgs1b  17972  telgsumfzs  18209  iscau4  22885  caucfil  22889  iscmet3lem3  22896  iscmet3lem1  22897  iscmet3lem2  22898  lmle  22907  uniioombllem3  23159  mbflimsup  23239  mbfi1fseqlem6  23293  dvfsumle  23588  dvfsumge  23589  dvfsumabs  23590  aaliou3lem1  23901  aaliou3lem2  23902  ulmres  23946  ulmshftlem  23947  ulmshft  23948  ulmcaulem  23952  ulmcau  23953  ulmdvlem1  23958  radcnvlem1  23971  logblt  24322  muval1  24659  chtdif  24684  ppidif  24689  chtub  24737  bcmono  24802  bpos1lem  24807  lgsquad2lem2  24910  2sqlem6  24948  2sqlem8a  24950  2sqlem8  24951  chebbnd1lem1  24958  dchrisumlem2  24979  dchrisum0lem1  25005  ostthlem2  25117  ostth2  25126  axlowdimlem3  25624  axlowdimlem6  25627  axlowdimlem7  25628  axlowdimlem16  25637  axlowdimlem17  25638  axlowdim  25641  constr3trllem3  26180  extwwlkfablem2  26605  fzspl  28938  fzdif2  28939  supfz  30866  divcnvlin  30871  nn0prpwlem  31487  fdc  32711  mettrifi  32723  caushft  32727  rmspecnonsq  36490  rmspecfund  36492  rmxyadd  36504  rmxy1  36505  jm2.18  36573  jm2.22  36580  jm2.15nn0  36588  jm2.16nn0  36589  jm2.27a  36590  jm2.27c  36592  jm3.1lem2  36603  jm3.1lem3  36604  jm3.1  36605  expdiophlem1  36606  dvgrat  37533  cvgdvgrat  37534  hashnzfz  37541  uzwo4  38246  ssinc  38292  ssdec  38293  rexanuz3  38303  monoords  38452  fzdifsuc2  38466  iuneqfzuzlem  38491  eluzelzd  38532  allbutfi  38557  fmul01  38647  fmul01lt1lem1  38651  fmul01lt1lem2  38652  climsuselem1  38674  climsuse  38675  climf  38689  climresmpt  38726  climf2  38733  itgsinexp  38846  iblspltprt  38865  itgspltprt  38871  iundjiunlem  39352  iundjiun  39353  smonoord  39944  fzopredsuc  39946  iccpartiltu  39960  fmtnoprmfac2lem1  40016  fmtnofac2lem  40018  lighneallem2  40061  lighneallem4a  40063  lighneallem4b  40064  gboage9  40186  nnsum3primesle9  40210  nnsum4primesevenALTV  40217  wtgoldbnnsum4prm  40218  bgoldbnnsum3prm  40220  bgoldbtbndlem2  40222  pfxccatin12  40288  av-extwwlkfablem2  41510  m1modmmod  42110  fllogbd  42152  fllog2  42160  dignn0ldlem  42194  dignnld  42195  digexp  42199  dignn0flhalf  42210  nn0sumshdiglemB  42212
  Copyright terms: Public domain W3C validator